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régression linéaire

1. Partie théorique

régression linéaire: Dans des données limitées, en ajustant les paramètres, une ligne droite est ajustée, et cette ligne droite (modèle) est utilisée pour effectuer des expériences sur des données inconnues.prédire。

DroitForme générale：
$$et=m\times X+b$$
L’état de la droite entière est donné par$metb$Décider,$m$déterminer la ligne droitepente(c'est-à-dire l'angle d'inclinaison),$b$Déterminer la ligne droite sur l'axe Yintercepter(Contrôlez la translation vers le haut et vers le bas d'une ligne droite, également connue sous le nom debiais ).Il suffit donc de calculer$m$et$b$La valeur de peut déterminer une ligne droite spécifique. Ensuite, nous étudierons comment trouver.$m$et$b$。

L'influence de w et b sur la forme de la ligne droite

nom propre

1. Régression linéaire univariée

1) Prétraitement des données

Étudions d'abord la régression linéaire univariée. La régression linéaire dite univariée fait référence à une fonction linéaire avec une seule variable indépendante, telle que :$et=m\cdot X+b$C'estLigne droite univariée, n'a qu'une seule variable d'entrée$X$ . Cette droite peut être exprimée sur un plan bidimensionnel (l'axe horizontal est X et l'axe vertical est Y).

Lorsque nous obtenons un ensemble de données non divisées, nous divisons généralement les données en un ensemble d'apprentissage et un ensemble de test. Une méthode de division simple consiste à prendre les premiers 80 % des échantillons comme ensemble d'apprentissage et les 20 % restants comme ensemble. l’ensemble de test.

2) Définir la fonction de coût

Supposons que nous ayons découvert$m$et$b$, alors nous avons déterminé une ligne droite, et nous pouvons utiliser cette ligne droite pour faire des prédictions afin de faciliter le jugement de la valeur que nous prédisons.etavec une vraie valeuretentreerreurCombien, nous voulons définir *"une règle"*, utilisée pour mesurer la valeur prédite${et}^{\prime }$avec une vraie valeur$et$ erreur entre.Ici, nous utilisonserreur quadratique moyennedéfinirfonction de coût：

$$J(m,b)=\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)}{)}^2$$
Démantèlement de la formule：

$F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)}$:dans$F_{m,b}(X^{(je)})$représente la valeur prédite à l'aide du modèle entraîné, tandis que${et}^{(je)}$représente le vrai résultat de chaque échantillon d'apprentissage, et la différence entre les deux représente l'erreur entre la valeur prédite par le modèle et la vraie valeur.

Pourquoi quadraturer l’erreur ?

Dans tous les ensembles d'échantillons, chaque erreur peut être positive ou négative, et il y aura une certaine probabilité de décalage pendant le processus de sommation. Cela conduira à ce que l'erreur de chaque élément soit très grande (par exemple : -100, + 90,). -25, +30), après addition, une petite valeur (-5) est obtenue, et finalement un mauvais jugement est obtenu.

$\frac{1}{2m}$: Représente la moyenne de la somme de toutes les erreurs de données (cette moyenne peut représenter l'erreur de l'ensemble du modèle dans un sens) et obtient l'erreur quadratique moyenne.

Pourquoi diviser par 2？

Car lorsque la descente de gradient sera effectuée ultérieurement, la dérivation divisera l'indice 2 en coefficients, car pour une grande quantité de données, une constante a peu d'impact sur le modèle. Afin d'introduire la formule de dérivation, divisez-la par 2 au préalable. , pour un décalage ultérieur.

Connaissant la fonction de coût, il nous suffit de trouver des moyens de réduire le coût. Plus le coût est faible, plus notre valeur prédite est proche de la valeur réelle.

En observant la fonction de coût d'erreur, nous pouvons voir que la fonction de coût d'erreur est une fonction quadratique, c'est-à-dire unefonction convexe, une propriété de la fonction convexe est :Le point extrême est le point maximum , puisque la fonction de coût est une fonction quadratique qui s'ouvre vers le haut (la formule peut être développée et vous pouvez intuitivement sentir que le coefficient du terme carré est supérieur à 0), donc la fonction convexe n'a qu'une valeur minimale, et nous seulement besoin de trouver la valeur minimale est la valeur minimale.Pour la fonction de coût d'erreur$J(m,b)$ , son développement de formule peut s'écrire :
$$J(m,b)=\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m((m{X}^{(je)}+b)-{et}^{(je)}{)}^2$$
$J$La taille dépend des paramètres$m$et$b$, qui peut être résolu par descente de gradient. La forme de la fonction de coût est à peu près la suivante :

3) Descente de gradient

L'idée de la descente de pente fonctionne principalementTrouver la dérivée partielleméthode, qui est liée à la biologievariables de contrôleLa méthode est très similaire, comme par exemple : dans le contrôle$b$Mettre à jour sans changement$m$(Visible$b$est une constante), formule :$m^{\prime }=m-\alpha \frac{\partial J(m)}{\partial m}$ Indique qu'il a été mis à jour dans l'ordre$m$,dans$\alpha$ représentetaux d'apprentissage Utilisé pour représenter la taille du pas, qui peut également être comprise comme la vitesse de descente,$\frac{\partial J(m)}{\partial m}$ exprime le droit$m$En recherchant la dérivée partielle, on obtient $L-J$(PoidsLet le prixJfonction) Une ligne tangente sur une fonction convexe, utilisée pour représenter la valeur de fonction décroissante la plus rapidedirection, le produit des deux représenteDéplacez-vous d'un pas dans la direction où la valeur de la fonction diminue le plus rapidement .Cette distance doit être ajustée en fonction de l'ensemble de données If.$\alpha$S'il est trop grand (la taille du pas est trop grande), cela entraînera$m$passe directement du point le plus bas au point le plus haut de l'autre côté, de sorte qu'il ne s'approche jamais du minimum, si$\alpha$S'il est trop petit (la taille du pas est trop petite), cela entraînera$m$Cela devient de plus en plus lent à mesure qu’il s’approche du minimum, consommant des coûts de calcul.

---

taux d'apprentissage ($\alpha$) méthode de réglage：

1. Définissez d'abord un plus petit$\alpha$ Tel que : 0,001.

2. Ensuite, il augmente de 10 fois à chaque fois, jusqu'à un maximum de 1.

3. Après avoir déterminé une certaine valeur, telle que : 0,01.

4. Effectuez ensuite 3 fois le traitement, tel que :$0.01\times 3=0.03,0.03\times 3=0.09$ (Le but est de rendre la convergence plus rapide).

---

Le processus de résolution des dérivées partielles (trouver la direction de la descente du gradient) :

• mendier$\frac{\partial J(m)}{\partial m}$ :

  $\frac{\partial J(m)}{\partial m}$ = $\frac{\partial }{\partial m}\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)}{)}^2$

  ​ = $\frac{\partial }{\partial m}\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^{m}m{X}^{(je)}-{et}^{(je)}{)}^2$

  ​ =$\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)})\cdot 2X^{(je)}$

  ​ =$\frac{1}{m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)})X^{(je)}$

• mendier$\frac{\partial J(m)}{\partial b}$ :

  $\frac{\partial J(m)}{\partial b}$ = $\frac{\partial }{\partial b}\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)}{)}^2$

  ​ = $\frac{\partial }{\partial b}\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^{m}m{X}^{(je)}-{et}^{(je)}{)}^2$

  = $\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)})\cdot 2$

  ​ =$\frac{1}{m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)})$

Trouvez-en des spécifiques grâce à l'itération de boucle$m$valeur avec$b$valeur:

$mSalutlet():$

​ $m^{\ast }=m-\alpha \frac{\partial }{\partial m}J(m,b)$

​ $b^{\ast }=b-\alpha \frac{\partial }{\partial b}J(m,b)$

​ $m=m^{\ast }$

​ $b=b^{\ast }$

Au début, nous valorisons w et b de manière aléatoire, puis itérons. Nous pouvons définir la descente du gradient pour qu'elle se termine lorsque l'erreur est inférieure à un certain seuil, ou personnaliser le nombre d'itérations, nous pouvons obtenir un résultat plus idéal.$m$valeur somme$b$valeur.

2. Régression linéaire multivariée

La régression linéaire multivariée étend les dimensions à trois dimensions et même à des états multidimensionnels, tels que$et=m_1{X}_1+m_2{X}_2+b$ peut être compris commeXAxe etYLes axes sont$X_{1}et{X}_2$ ZL'axe est$et$, il s'agit d'un état tridimensionnel. Chaque échantillon d'apprentissage est un point dans l'espace tridimensionnel. Il est nécessaire de trouver une ligne droite appropriée pour ajuster le point échantillon dans l'espace tridimensionnel.

Méthode : Pour chaque variable séparément ($m_1,m_2,\dots ,m_n,b$) pour le traitement de descente de gradient

Points principaux: Pour la régression linéaire multivariée, les plages de valeurs des différentes valeurs de caractéristiques sont différentes, telles que : la plage de valeurs de la caractéristique d'âge :$0$ ~ $100$, couvrant la zone :$0m^2$ ~ $10000m^2$ , il peut aussi y avoirÉchantillon étrange, l'existence d'échantillons de données singuliers entraînera une augmentation du temps de formation et peut également entraîner un échec de convergence. Par conséquent, lorsqu'il existe des données d'échantillon singulières, il est nécessaire de prétraiter les données avant la formation.Normalisé Au contraire, lorsqu'il n'y a pas de données d'échantillon singulières, la normalisation n'a pas besoin d'être effectuée.Pour résoudre ce problème, nous devons effectuerLes fonctionnalités sont mises à l'échelle (normalisées)。

1) Prétraitement des données

Traitement de normalisation des données

accomplirNormalisation des donnéesIl existe trois méthodes :

1. Identique à diviser par la valeur maximale :

   Divisez toutes les valeurs de chaque fonctionnalité par la valeur maximale de cette fonctionnalité.

2. Normalisation moyenne :

   Soustrayez la valeur de chaque fonctionnalité de la valeur de cette fonctionnalitésignifier, puis divisé par la différence entre les valeurs maximales et minimales de la fonctionnalité.

3. Normalisation du score Z :

   Calculer chaque fonctionnalitéécart-typeetsignifier

   Soustrayez la valeur de chaque fonctionnalité de toutes les valeurs de cette fonctionnalitévaleur moyenne, puis divisé par la fonctionnalitésignifier

Si la normalisation n'est pas effectuée, la fonction de coût changera en raison de grandes différences dans les valeurs des différentes caractéristiques dans le vecteur de caractéristiques. "plat" .De cette façon, lors de la descente du gradient, la direction du gradient s'écartera de la direction de la valeur minimale, et cela ira beaucoupDEVIATION, ce qui rendra le temps de formation trop long.

Après normalisation, la fonction objectif affichera une comparaison "rond", de sorte que la vitesse d'entraînement soit considérablement accélérée et que de nombreux détours soient évités.

Avantages de la normalisation des données :

1. Après normalisationAccélère la descente de pente pour trouver la solution optimale, c'est-à-dire accélérer la convergence du réseau de formation.
2. La normalisation a le potentiel d’améliorer la précision.

2) Fonction de coût (identique à la fonction de coût de la régression linéaire univariée)

$$J(m,b)=\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m(F_{m,b}(X^{(je)})-{et}^{(je)}{)}^2$$

3) Descente de gradient

Descente de gradient pour la régression linéaire multiple：

$m_1=L_1-\alpha \frac{1}{m}\sum _{je=1}^m(F_{\vec{m},b}{\vec{X}}^{(je)}-{et}^{(je)})X_1^{(je)}$

​ $⋮$

$m_n=L_n-\alpha \frac{1}{m}\sum _{je=1}^m(F_{\vec{m},b}{\vec{X}}^{(je)}-{et}^{(je)})X_n^{(je)}$

$b=b-\alpha \frac{1}{m}\sum _{je=1}^m(F_{\vec{m},b}{\vec{X}}^{(je)}-{et}^{(je)})$

expliquer:$m_1\cdots m_n$ représente le coefficient de chaque variable et b représente le terme constant de la fonction linéaire.

3.Équation normale

1) Prétraitement des données

Omettre...

2) Fonction de coût

Dérivation mathématique :

$J=\frac{1}{2m}\sum _{je=1}^m({\vec{\theta }}_{je}{\vec{X}}_{je}-{et}_{je}{)}^2$

​ =$\frac{1}{2m}||\vec{\theta }\vec{X}-et|{|}^2$

​ =$\frac{1}{2m}(\vec{\theta }\vec{X}-et{)}^T(\vec{\theta }\vec{X}-et)$

​ =$\frac{1}{2m}({\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T-{et}^T)(\vec{\theta }\vec{X}-et)$

​ =$\frac{1}{2m}({\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T\vec{X}\vec{\theta }-{et}^T\vec{X}\vec{\theta }-{\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^{T}et+{et}^{T}et)$

3) Descente de gradient

droite$\theta$Trouvez la dérivée partielle : $\Delta =\frac{\partial J}{\partial \theta }=\frac{1}{2m}(\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial {et}^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^{T}et}{\partial \theta }+\frac{{et}^{T}et}{\partial \theta })$

Règle de dérivation matricielle :

1. $\frac{\partial {\theta }^{T}UN\theta }{\partial \theta }=(UN+{UN}^T)\theta$

2. $\frac{\partial X^{T}UN}{\partial X}=UN$

3. $\frac{\partial UNX}{\partial X}={UN}^T$

4. $\frac{\partial UN}{\partial X}=0$

Disponible $\Delta =\frac{1}{2m}(\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial {et}^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^{T}et}{\partial \theta }+\frac{{et}^{T}et}{\partial \theta })=\frac{1}{2m}\cdot (2X^{T}X\theta -2X^{T}et)=\frac{1}{m}\cdot (X^{T}X\theta -X^{T}et)$
quand$\Delta =0$ heure:$X^{T}X\theta =X^{T}et$ ,$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}et$ peut être calculé$\theta$ valeur.

Comparaison de la descente de gradient et des équations normales：

• Descente graduelle: Il est nécessaire de sélectionner le taux d'apprentissage α, qui nécessite plusieurs itérations. Il peut également être mieux appliqué lorsque le nombre de fonctionnalités n est grand et convient à différents types de modèles.

• équation normale: Il n'est pas nécessaire de sélectionner le taux d'apprentissage α. Il est calculé une fois et doit être calculé. $(X^{T}X{)}^{-1}$ , si le nombre de fonctionnalités$n$S'il est plus grand, le coût de fonctionnement sera plus important, car la complexité du temps de calcul de l'inverse de la matrice est $O(n^3)$ , généralement quand$n$Il reste acceptable quand il est inférieur à 10 000.Uniquement disponible pour les modèles linéaires, ne convient pas à d'autres modèles tels que les modèles de régression logistique.

4.Régression polynomiale

Étant donné que dans certains cas, il est difficile pour une ligne droite d'ajuster toutes les données, des courbes sont nécessaires pour ajuster les données, telles que des modèles quadratiques, des modèles cubiques, etc.

En général, la fonction de régression des données est inconnue, même si elle est connue, il est difficile de la transformer en un modèle linéaire avec une simple transformation de fonction, l'approche courante est donc la suivante.régression polynomiale(Régression polynomiale), c'est-à-dire utiliser une fonction polynomiale pour ajuster les données.

Comment choisir le degré d'un polynôme：

Il existe de nombreux types de fonctions polynomiales. De manière générale, vous devez d'abord observer la forme des données, puis décider quelle forme de fonction polynomiale utiliser pour résoudre le problème. Par exemple, à partir du nuage de points des données, s'il y a un "plier ", vous pouvez envisager d'utiliser un polynôme quadratique (c'est-à-dire mettre les caractéristiques au carré) ; il y en a deux "plier ", vous pouvez envisager d'utiliser un polynôme cubique (en prenant la puissance cubique de l'entité) ; il y en a trois "plier », puis envisagez d'utiliser un polynôme du quatrième ordre (en prenant la quatrième puissance de la caractéristique), et ainsi de suite.

Bien que la fonction de régression réelle ne soit pas nécessairement un polynôme d'un certain degré, tant que l'ajustement est bon, il est possible d'utiliser un polynôme approprié pour se rapprocher de la fonction de régression réelle.

2. Partie expérimentale

L'annexe à la fin de l'article contient toutes les données originales utilisées dans l'expérience.ex1data1.txtest la relation entre la population et le profit, ex1data2.txtC'est l'impact de la taille de la maison et du nombre de chambres sur le prix de la maison.

1. Régression linéaire univariée

1) Charger les données

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
path = "ex1data1.txt"
data = pd.read_csv(path,header = None,names=['Population','Profit'])
data.head()   # 预览数据
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2) Afficher les données

data.describe()    # 更加详细的数据描述
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# 可视化训练数据
data.plot(kind = 'scatter',x = 'Population',y = 'Profit',figsize = (12,8))
plt.show()
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3) Définir la fonction de coût

def computerCost(X,y,theta):    # 定义代价函数
    inner = np.power(((X*theta.T)-y),2)   # theta.T表示theta的转置
    return np.sum(inner)/(2*len(X))
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data.insert(0,"One",1)  # 表示在第0列前面插入一列数，其表头为One，其值为1
1

Insérer dans la première colonne de l'ensemble de données$1$La fonction est deFacilite les calculs matriciels, lorsque les matrices sont multipliées, des poids entrent en jeu$m$et les préjugés$b$,parce que$b$n'est pas multiplié par la variable, donc un$1$, utilisé avec$b$Multiplier.

4) Divisez les données

cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:cols - 1]  #“，”前只有“：”，表示所有的行，“，”后表示抽取数据中第[0列~第cols-1列)(左闭右开)，去掉最后一列，最后一列为预测值

y = data.iloc[:,cols - 1:cols]  #只取最后一列的值，表示预测值

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X.head()
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y.head()
1

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)  #只将表格中的值装换为矩阵而不是包括序号与标题

#初始化theta
theta = np.matrix(np.array([0,0]))  #先是一个一维的数据，然后在转换为一个二维的矩阵
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5) Paramètres d'initialisation

theta  
# => matrix([[0, 0]])
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X.shape,theta.shape,y.shape  # 此时theta为一行列，需要进行转置
# => ((97, 2), (1, 2), (97, 1))
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computerCost(X,y,theta)
# => 32.072733877455676
1
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6) Définir la fonction de descente de gradient

def gradientDecent(X,y,theta,alpha,iters):   #iters为迭代次数
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))   #构造一个与theta大小一样的零矩阵，用于存储更新后的theta
    parmaters = int (theta.ravel().shape[1])    #.ravel()的功能是将多维数组降至一维，用于求需要求的参数个数
    cost = np.zeros(iters)   #构建iters个0的数组，相当于对每次迭代的cost进行记录
    
    for i in range(iters):
        error = (X * theta.T - y)     #记录误差值，结果为一个数组
        for j in range(parmaters):    #对每一个参数进行更新，j用于表示每一个参数
            term = np.multiply(error,X[:,j])   #.multiply 是对矩阵当中的数对应相乘，这里表示与X矩阵的第j列相乘。
            temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha/len(X))*np.sum(term))  #存储更行后的theta的值，.sum()表示将矩阵中的数进行求和
        
        theta = temp      #更新theta
        cost[i] = computerCost(X,y,theta)  #计算此时的代价，并记录在cost中。
    return theta,cost
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7) Initialiser les hyperparamètres

alpha  = 0.01		# 学习率
iters = 1000		# 迭代次数
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8) Descente de gradient

g,cost = gradientDecent(X,y,theta,alpha,iters)
g
# => matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])
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9) Calculez le coût

computerCost(X,y,g)
# => 4.515955503078914
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10) Dessiner un modèle linéaire

x = np.linspace(data.Population.min(),data.Population.max(),100) #抽取100个样本  (从data数据集中的最小值到最大值之间抽取100个样本)
f = g[0,0] + (g[0,1] * x)  #f = ax + b

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))    #figsize表示图的大小
ax.plot(x,f,'r',label = "Prediction")    #绘制直线，横坐标，纵坐标，直线名称
ax.scatter(data.Population,data.Profit,label = 'Training data')   #绘制点，横坐标，纵坐标，点的名称
ax.legend(loc = 4)  #显示图例位置
ax.set_xlabel('Population')  #设置x轴的名称
ax.set_ylabel('Profit')   #设置y轴的名称
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')  #设置标题的名称
plt.show()
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11) Tracez la courbe de variation des coûts

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.plot(np.arange(iters),cost,'r')
ax.set_xlabel('Interations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title("Error vs. Training Epoc")
plt.show()
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2. Régression linéaire multivariée

1) Charger les données

path = "ex1data2.txt"
data2 = pd.read_csv(path,header = None,names=["Size","Bedroom","Price"])
data2.head()
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2) Traitement de normalisation des données

data2 = (data2 - data2.mean())/data2.std()
data2.head()
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3) Divisez les données

data2.insert(0,'Ones',1)  #在x的第一列插入1

clos = data2.shape[1]   #存储第二维（列）的数据量
X2 = data2.iloc[:,0:clos-1]  #对X2进行赋值
y2 = data2.iloc[:,clos-1:clos]  #对y2进行赋值

X2 = np.matrix(X2.values)  #将X2转为矩阵
y2 = np.matrix(y2.values)  #将y2转为矩阵
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))  #初始化theta2为0矩阵
computerCost(X2, y2, theta2)
# => 0.48936170212765967
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4) Descente de gradient

g2,cost2 = gradientDecent(X2,y2,theta2,alpha,iters)   #记录放回值g2（theta2）和cost2
g2
# => matrix([[-1.10868761e-16,  8.78503652e-01, -4.69166570e-02]])
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5) Calculez le coût

computerCost(X2,y2,g2)
# => 0.13070336960771892
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6) Tracez la courbe de variation des coûts

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.plot(np.arange(iters),cost2,'x')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
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3. Équation normale

#正规方程
def normalEqn(X,y):
    theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y   #.linalg中包含线性代数中的函数，求矩阵的逆（inv）、特征值等。@表示矩阵相乘
    return theta
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final_theta2 = normalEqn(X,y)
final_theta2
# => matrix([[-3.89578088], [ 1.19303364]])
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3. Résumé

Étapes générales pour entraîner un modèle：

1. Prétraitement des données.
2. Choisissez un modèle en fonction de votre problème spécifique.
3. Définissez la fonction de coût.
4. Utilisez l'algorithme de descente de gradient pour trouver les paramètres optimaux.
5. Évaluez le modèle et ajustez les hyperparamètres.
6. Utilisez des modèles pour faire des prédictions.

4. Annexe

1. ex1data1.txt

6.1101,17.592
5.5277,9.1302
8.5186,13.662
7.0032,11.854
5.8598,6.8233
8.3829,11.886
7.4764,4.3483
8.5781,12
6.4862,6.5987
5.0546,3.8166
5.7107,3.2522
14.164,15.505
5.734,3.1551
8.4084,7.2258
5.6407,0.71618
5.3794,3.5129
6.3654,5.3048
5.1301,0.56077
6.4296,3.6518
7.0708,5.3893
6.1891,3.1386
20.27,21.767
5.4901,4.263
6.3261,5.1875
5.5649,3.0825
18.945,22.638
12.828,13.501
10.957,7.0467
13.176,14.692
22.203,24.147
5.2524,-1.22
6.5894,5.9966
9.2482,12.134
5.8918,1.8495
8.2111,6.5426
7.9334,4.5623
8.0959,4.1164
5.6063,3.3928
12.836,10.117
6.3534,5.4974
5.4069,0.55657
6.8825,3.9115
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