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regressione lineare

1. Parte teorica

regressione lineare: Nei dati limitati, regolando i parametri, viene adattata una linea retta e questa linea retta (modello) viene utilizzata per eseguire esperimenti su dati sconosciuti.prevedere。

Drittoforma generale：
$$e=io\times X+B$$
Lo stato dell'intera retta è dato da$ioEB$Decidere,$io$determinare la rettapendenza(ovvero, l'angolo di inclinazione),$B$Determina la retta sull'asse Yintercettare(Controlla la traslazione su e giù di una linea retta, nota anche comepregiudizio ).Pertanto, dobbiamo solo calcolare$io$E$B$Il valore di può determinare una linea retta specifica Successivamente, studieremo come trovarla$io$E$B$。

L'influenza di w e b sulla forma della linea retta

nome proprio

1. Regressione lineare univariata

1) Preelaborazione dei dati

Studiamo prima la regressione lineare univariata La cosiddetta regressione lineare univariata si riferisce a una funzione lineare con una sola variabile indipendente, come:$e=io\cdot X+B$Questo èRetta univariata, ha una sola variabile di input$X$ . Questa retta può essere espressa su un piano bidimensionale (l'asse orizzontale è X e l'asse verticale è Y).

Quando otteniamo un insieme di dati indivisi, di solito dividiamo i dati in un set di addestramento e un set di test. Un metodo di divisione semplice è: prendere il primo 80% dei campioni come set di addestramento e il restante 20% come set. il set di prova.

2) Definire la funzione di costo

Supponiamo di averlo scoperto$io$E$B$, quindi abbiamo determinato una linea retta e possiamo utilizzare questa linea retta per fare previsioni per facilitare il giudizio del valore che prevediamoio'con valore realeefraerroreQuanto, vogliamo definire *"un righello"*, utilizzato per misurare il valore predetto$e^{\prime }$con vero valore$e$ errore tra.Qui usiamoerrore quadratico mediodefinirefunzione di costo：

$$J(io,B)=\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}{)}^2$$
Smantellamento della formula：

$F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}$:In$F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})$rappresenta il valore previsto utilizzando il modello addestrato, mentre$e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}$rappresenta il risultato reale di ciascun campione di addestramento e la differenza tra i due rappresenta l'errore tra il valore previsto dal modello e il valore reale.

Perché quadrare l'errore?

In tutti i set di campioni, ogni errore può essere positivo o negativo e ci sarà una certa probabilità di compensazione durante il processo di somma. Ciò porterà a quando l'errore di ciascun elemento sarà molto grande (ad esempio: -100, + 90,). -25, +30), dopo aver sommato si ottiene un valore piccolo (-5) e infine si ottiene un giudizio errato.

$\frac{1}{2M}$: Rappresenta la media della somma di tutti gli errori dei dati (questa media può rappresentare in un certo senso l'errore dell'intero modello) e ottiene l'errore quadratico medio.

Perché dividere per 2？

Perché quando la discesa del gradiente viene eseguita successivamente, la derivazione dividerà l'indice 2 in coefficienti, poiché per una grande quantità di dati, una costante ha un impatto minimo sul modello. Per introdurre la formula di derivazione, dividerla per 2 in anticipo. , per la successiva compensazione.

Conoscendo la funzione di costo, dobbiamo solo trovare modi per ridurre il costo. Quanto più basso è il costo, tanto più vicino è il valore previsto al valore reale.

Osservando la funzione del costo dell'errore, possiamo vedere che la funzione del costo dell'errore è una funzione quadratica, cioè afunzione convessa, una proprietà della funzione convessa è:Il punto estremo è il punto massimo , poiché la funzione di costo è una funzione quadratica che si apre verso l'alto (la formula può essere espansa e si può intuitivamente sentire che il coefficiente del termine quadrato è maggiore di 0), quindi la funzione convessa ha solo un valore minimo e noi solo è necessario trovare il Il valore minimo è il valore minimo.Per la funzione del costo dell'errore$J(io,B)$ , la sua formula di sviluppo può essere scritta come:
$$J(io,B)=\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M((io{X}^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}+B)-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}{)}^2$$
$J$La dimensione dipende dai parametri$io$E$B$, che può essere risolto mediante la discesa del gradiente. La forma della funzione di costo è approssimativamente la seguente:

3) Discesa del gradiente

L'idea della discesa del gradiente funziona principalmenteTrova la derivata parzialemetodo, che è legato al biologicovariabili di controlloIl metodo è molto simile, ad esempio: nel controllo$B$Aggiorna senza modifiche$io$(Visibile$B$è una costante), formula:${io}^{\prime }=io-\alpha \frac{\partial J(io)}{\partial io}$ Indica che è stato aggiornato in sequenza$io$,In$\alpha$ rappresentatasso di apprendimento Utilizzato per rappresentare la dimensione del passo, che può essere intesa anche come velocità di discesa,$\frac{\partial J(io)}{\partial io}$ esprime ragione$io$Cercando la derivata parziale otteniamo $L\text{'}-J$(PesiL'e prezzoJfunzione) Una linea tangente su una funzione convessa, utilizzata per rappresentare il valore della funzione che diminuisce più rapidamentedirezione, il prodotto dei due rappresentaMuoversi di un passo nella direzione in cui il valore della funzione diminuisce più velocemente .Questa distanza deve essere regolata in base al set di dati$\alpha$Se è troppo grande (la dimensione del passo è troppo grande), porterà a$io$va direttamente sopra il punto più basso fino al punto più alto sull'altro lato, in modo che non si avvicini mai al minimo, se$\alpha$Se è troppo piccolo (la dimensione del passo è troppo piccola), porterà a$io$Diventa sempre più lento man mano che si avvicina al minimo, consumando costi computazionali.

---

tasso di apprendimento ($\alpha$) metodo di regolazione：

1. Impostane prima uno più piccolo$\alpha$ Ad esempio: 0,001.

2. Poi aumenta ogni volta di 10 volte, fino ad un massimo di 1.

3. Dopo aver determinato un determinato valore, ad esempio: 0,01.

4. Quindi eseguire 3 volte l'elaborazione, ad esempio:$0.01\times 3=0.03,0.03\times 3=0.09$ (Lo scopo è quello di rendere la convergenza più veloce).

---

Il processo di risoluzione delle derivate parziali (trovare la direzione della discesa del gradiente):

• elemosinare$\frac{\partial J(io)}{\partial io}$ :

  $\frac{\partial J(io)}{\partial io}$ = $\frac{\partial }{\partial io}\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}{)}^2$

  ​ = $\frac{\partial }{\partial io}\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^{M}io{X}^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}{)}^2$

  ​ =$\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})\cdot 2X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}$

  ​ =$\frac{1}{M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}$

• elemosinare$\frac{\partial J(io)}{\partial B}$ :

  $\frac{\partial J(io)}{\partial B}$ = $\frac{\partial }{\partial B}\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}{)}^2$

  ​ = $\frac{\partial }{\partial B}\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^{M}io{X}^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}{)}^2$

  = $\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})\cdot 2$

  ​ =$\frac{1}{M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})$

Trova quelli specifici attraverso l'iterazione del ciclo$io$valore con$B$valore:

$ioCIAOle():$

​ ${io}^{\ast }=io-\alpha \frac{\partial }{\partial io}J(io,B)$

​ $B^{\ast }=B-\alpha \frac{\partial }{\partial B}J(io,B)$

​ $io={io}^{\ast }$

​ $B=B^{\ast }$

All'inizio valorizziamo w e b in modo casuale, quindi iteriamo. Possiamo impostare la discesa del gradiente per uscire quando l'errore è inferiore a una determinata soglia o personalizzare il numero di iterazioni. Attraverso passaggi limitati, possiamo ottenere un valore più ideale$io$somma di valore$B$valore.

2. Regressione lineare multivariabile

La regressione lineare multivariabile espande le dimensioni a tre dimensioni e persino a stati multidimensionali, come ad esempio$e={io}_1{X}_1+{io}_2{X}_2+B$ può essere inteso comeXAsse eEGli assi sono$X_{1}E{X}_2$ LaL'asse è$e$, questo è uno stato tridimensionale. Ogni campione di addestramento è un punto nello spazio tridimensionale. È necessario trovare una linea retta adatta per adattare il punto campione nello spazio tridimensionale.

Metodo: per ciascuna variabile separatamente (${io}_1,{io}_2,\dots ,{io}_N,B$) per l'elaborazione della discesa del gradiente

Punti principali: Per la regressione lineare multivariabile, gli intervalli di valori dei diversi valori delle caratteristiche sono diversi, ad esempio: l'intervallo di valori della caratteristica età:$0$ ~ $100$, coprendo l'area:$0M^2$ ~ $10000M^2$ , potrebbe anche esserciStrano campione, l'esistenza di dati campione singolari causerà un aumento del tempo di addestramento e potrebbe anche portare alla mancata convergenza. Pertanto, quando sono presenti dati campione singolari, è necessario preelaborare i dati prima dell'addestramento.Normalizzato ; Al contrario, quando non esistono dati campione singolari, non è necessario eseguire la normalizzazione.Per affrontare questo problema, dobbiamo eseguireLe caratteristiche sono ridimensionate (normalizzate)。

1) Preelaborazione dei dati

Elaborazione della normalizzazione dei dati

compiereNormalizzazione dei datiEsistono tre metodi:

1. Equivale a dividere per il valore massimo:

   Dividi tutti i valori in ciascuna caratteristica per il valore massimo in quella caratteristica.

2. Normalizzazione media:

   Sottrai il valore di ciascuna caratteristica dal valore di quella caratteristicaSignificare, e poi diviso per la differenza tra i valori massimo e minimo della caratteristica.

3. Normalizzazione del punteggio Z:

   Calcola ciascuna caratteristicadeviazione standardESignificare

   Sottrai il valore di ciascuna caratteristica da tutti i valori di quella caratteristicavalore medioe poi diviso per la funzionalitàSignificare

Se la normalizzazione non viene eseguita, la funzione di costo cambierà a causa delle grandi differenze nei valori delle diverse caratteristiche nel vettore delle caratteristiche. "Piatto" .In questo modo, quando si esegue la discesa del gradiente, la direzione del gradiente si discosterà dalla direzione del valore minimo e andrà moltodeviazione, il che renderà il tempo di allenamento troppo lungo.

Dopo la normalizzazione, la funzione obiettivo mostrerà un confronto "girare", in modo che la velocità di allenamento sia notevolmente accelerata e si evitino molte deviazioni.

Vantaggi della normalizzazione dei dati:

1. Dopo la normalizzazioneVelocizza la discesa del gradiente per trovare la soluzione ottimale, cioè accelerare la convergenza della rete formativa.
2. La normalizzazione ha il potenziale per migliorare la precisione.

2) Funzione di costo (uguale alla funzione di costo della regressione lineare univariata)

$$J(io,B)=\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{io,B}(X^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}{)}^2$$

3) Discesa del gradiente

Discesa del gradiente per la regressione lineare multipla：

${io}_1={L\text{'}}_1-\alpha \frac{1}{M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{\overrightarrow{io},B}{\vec{X}}^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})X_1^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}$

​ $⋮$

${io}_N={L\text{'}}_N-\alpha \frac{1}{M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{\overrightarrow{io},B}{\vec{X}}^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})X_N^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}$

$B=B-\alpha \frac{1}{M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M(F_{\overrightarrow{io},B}{\vec{X}}^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)}-e^{(ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)})$

spiegare:${io}_1\cdots {io}_N$ rappresenta il coefficiente di ciascuna variabile e b rappresenta il termine costante della funzione lineare.

3.Equazione normale

1) Preelaborazione dei dati

Omettere...

2) Funzione di costo

Derivazione matematica:

$J=\frac{1}{2M}\sum _{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo=1}^M({\vec{\theta }}_{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo}{\vec{X}}_{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo}-e_{ioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo}{)}^2$

​ =$\frac{1}{2M}||\vec{\theta }\vec{X}-e|{|}^2$

​ =$\frac{1}{2M}(\vec{\theta }\vec{X}-e{)}^T(\vec{\theta }\vec{X}-e)$

​ =$\frac{1}{2M}({\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T-e^T)(\vec{\theta }\vec{X}-e)$

​ =$\frac{1}{2M}({\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T\vec{X}\vec{\theta }-e^T\vec{X}\vec{\theta }-{\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^{T}e+e^{T}e)$

3) Discesa del gradiente

Giusto$\theta$Trova la derivata parziale: $\Delta =\frac{\partial J}{\partial \theta }=\frac{1}{2M}(\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial e^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^{T}e}{\partial \theta }+\frac{e^{T}e}{\partial \theta })$

Regola di derivazione della matrice:

1. $\frac{\partial {\theta }^{T}UN\theta }{\partial \theta }=(UN+{UN}^T)\theta$

2. $\frac{\partial X^{T}UN}{\partial X}=UN$

3. $\frac{\partial UNX}{\partial X}={UN}^T$

4. $\frac{\partial UN}{\partial X}=0$

Disponibile $\Delta =\frac{1}{2M}(\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial e^T\vec{X}\vec{\theta }}{\partial \theta }-\frac{\partial {\vec{\theta }}^T{\vec{X}}^{T}e}{\partial \theta }+\frac{e^{T}e}{\partial \theta })=\frac{1}{2M}\cdot (2X^{T}X\theta -2X^{T}e)=\frac{1}{M}\cdot (X^{T}X\theta -X^{T}e)$
Quando$\Delta =0$ ora:$X^{T}X\theta =X^{T}e$ ,$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}e$ può essere calcolato$\theta$ valore.

Confronto tra la discesa del gradiente e le equazioni normali：

• discesa del gradiente: È necessario selezionare la velocità di apprendimento α, che richiede più iterazioni. Può anche essere applicata meglio quando il numero di caratteristiche n è elevato ed è adatta a vari tipi di modelli.

• equazione normale: Non è necessario selezionare il tasso di apprendimento α Viene calcolato una volta e deve essere calcolato. $(X^{T}X{)}^{-1}$ , se il numero di funzionalità$N$Se è maggiore, il costo dell'operazione sarà maggiore, poiché la complessità del tempo di calcolo della matrice è inversa $Lo(N^3)$ , di solito quando$N$È ancora accettabile quando è inferiore a 10.000.Disponibile solo per i modelli lineari, non adatto per altri modelli come i modelli di regressione logistica.

4.Regressione polinomiale

Poiché in alcuni casi è difficile che una linea retta possa adattare tutti i dati, sono necessarie delle curve per adattare i dati, come i modelli quadratici, i modelli cubici, ecc.

In generale, la funzione di regressione dei dati è sconosciuta. Anche se è nota, è difficile trasformarla in un modello lineare con una semplice trasformazione di funzione, quindi è l'approccio comuneregressione polinomiale(Regressione polinomiale), ovvero utilizzando una funzione polinomiale per adattare i dati.

Come scegliere il grado di un polinomio：

Esistono molti tipi di funzioni polinomiali. In generale, è necessario prima osservare la forma dei dati e poi decidere quale forma di funzione polinomiale utilizzare per risolvere il problema. Ad esempio, dal grafico a dispersione dei dati, se è presente un "curva ", puoi considerare l'utilizzo di un polinomio quadratico (cioè elevando al quadrato le caratteristiche); ce ne sono due "curva ", puoi considerare l'utilizzo di un polinomio cubico (prendendo la potenza cubica della caratteristica); ce ne sono tre "curva ”, quindi considera l'utilizzo di un polinomio del quarto ordine (prendendo la quarta potenza della caratteristica) e così via.

Sebbene la funzione di regressione reale non sia necessariamente un polinomio di un certo grado, purché l'adattamento sia buono, è possibile utilizzare un polinomio appropriato per approssimare la funzione di regressione reale.

2. Parte sperimentale

L'appendice alla fine dell'articolo contiene tutti i dati originali utilizzati nell'esperimento.ex1data1.txtè il rapporto tra popolazione e profitto, ex1data2.txtÈ l’impatto delle dimensioni della casa e del numero di camere da letto sul prezzo della casa.

1. Regressione lineare univariata

1) Caricare i dati

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
path = "ex1data1.txt"
data = pd.read_csv(path,header = None,names=['Population','Profit'])
data.head()   # 预览数据
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2) Visualizza i dati

data.describe()    # 更加详细的数据描述
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# 可视化训练数据
data.plot(kind = 'scatter',x = 'Population',y = 'Profit',figsize = (12,8))
plt.show()
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3) Definire la funzione di costo

def computerCost(X,y,theta):    # 定义代价函数
    inner = np.power(((X*theta.T)-y),2)   # theta.T表示theta的转置
    return np.sum(inner)/(2*len(X))
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data.insert(0,"One",1)  # 表示在第0列前面插入一列数，其表头为One，其值为1
1

Inserisci nella prima colonna del set di dati$1$La funzione è quella diFacilita i calcoli con matrici, quando le matrici vengono moltiplicate, entrano in gioco i pesi$io$e pregiudizio$B$,Perché$B$non viene moltiplicato per la variabile, quindi a$1$, usato con$B$Moltiplicare.

4) Dividere i dati

cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:cols - 1]  #“，”前只有“：”，表示所有的行，“，”后表示抽取数据中第[0列~第cols-1列)(左闭右开)，去掉最后一列，最后一列为预测值

y = data.iloc[:,cols - 1:cols]  #只取最后一列的值，表示预测值

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X.head()
1

y.head()
1

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)  #只将表格中的值装换为矩阵而不是包括序号与标题

#初始化theta
theta = np.matrix(np.array([0,0]))  #先是一个一维的数据，然后在转换为一个二维的矩阵
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5) Parametri di inizializzazione

theta  
# => matrix([[0, 0]])
1
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X.shape,theta.shape,y.shape  # 此时theta为一行列，需要进行转置
# => ((97, 2), (1, 2), (97, 1))
1
2

computerCost(X,y,theta)
# => 32.072733877455676
1
2

6) Definire la funzione di discesa del gradiente

def gradientDecent(X,y,theta,alpha,iters):   #iters为迭代次数
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))   #构造一个与theta大小一样的零矩阵，用于存储更新后的theta
    parmaters = int (theta.ravel().shape[1])    #.ravel()的功能是将多维数组降至一维，用于求需要求的参数个数
    cost = np.zeros(iters)   #构建iters个0的数组，相当于对每次迭代的cost进行记录
    
    for i in range(iters):
        error = (X * theta.T - y)     #记录误差值，结果为一个数组
        for j in range(parmaters):    #对每一个参数进行更新，j用于表示每一个参数
            term = np.multiply(error,X[:,j])   #.multiply 是对矩阵当中的数对应相乘，这里表示与X矩阵的第j列相乘。
            temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha/len(X))*np.sum(term))  #存储更行后的theta的值，.sum()表示将矩阵中的数进行求和
        
        theta = temp      #更新theta
        cost[i] = computerCost(X,y,theta)  #计算此时的代价，并记录在cost中。
    return theta,cost
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7) Inizializzare gli iperparametri

alpha  = 0.01		# 学习率
iters = 1000		# 迭代次数
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2

8) Discesa del gradiente

g,cost = gradientDecent(X,y,theta,alpha,iters)
g
# => matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])
1
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9) Calcola il costo

computerCost(X,y,g)
# => 4.515955503078914
1
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10) Disegna il modello lineare

x = np.linspace(data.Population.min(),data.Population.max(),100) #抽取100个样本  (从data数据集中的最小值到最大值之间抽取100个样本)
f = g[0,0] + (g[0,1] * x)  #f = ax + b

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))    #figsize表示图的大小
ax.plot(x,f,'r',label = "Prediction")    #绘制直线，横坐标，纵坐标，直线名称
ax.scatter(data.Population,data.Profit,label = 'Training data')   #绘制点，横坐标，纵坐标，点的名称
ax.legend(loc = 4)  #显示图例位置
ax.set_xlabel('Population')  #设置x轴的名称
ax.set_ylabel('Profit')   #设置y轴的名称
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')  #设置标题的名称
plt.show()
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11) Disegna la curva di variazione dei costi

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.plot(np.arange(iters),cost,'r')
ax.set_xlabel('Interations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title("Error vs. Training Epoc")
plt.show()
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2. Regressione lineare multivariabile

1) Caricare i dati

path = "ex1data2.txt"
data2 = pd.read_csv(path,header = None,names=["Size","Bedroom","Price"])
data2.head()
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2) Elaborazione di normalizzazione dei dati

data2 = (data2 - data2.mean())/data2.std()
data2.head()
1
2

3) Dividere i dati

data2.insert(0,'Ones',1)  #在x的第一列插入1

clos = data2.shape[1]   #存储第二维（列）的数据量
X2 = data2.iloc[:,0:clos-1]  #对X2进行赋值
y2 = data2.iloc[:,clos-1:clos]  #对y2进行赋值

X2 = np.matrix(X2.values)  #将X2转为矩阵
y2 = np.matrix(y2.values)  #将y2转为矩阵
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))  #初始化theta2为0矩阵
computerCost(X2, y2, theta2)
# => 0.48936170212765967
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4) Discesa del gradiente

g2,cost2 = gradientDecent(X2,y2,theta2,alpha,iters)   #记录放回值g2（theta2）和cost2
g2
# => matrix([[-1.10868761e-16,  8.78503652e-01, -4.69166570e-02]])
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5) Calcola il costo

computerCost(X2,y2,g2)
# => 0.13070336960771892
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6) Disegna la curva di variazione dei costi

fig,ax = plt.subplots(figsize = (12,8))
ax.plot(np.arange(iters),cost2,'x')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
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3. Equazione normale

#正规方程
def normalEqn(X,y):
    theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y   #.linalg中包含线性代数中的函数，求矩阵的逆（inv）、特征值等。@表示矩阵相乘
    return theta
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final_theta2 = normalEqn(X,y)
final_theta2
# => matrix([[-3.89578088], [ 1.19303364]])
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3. Riepilogo

Passaggi generali per l'addestramento di un modello：

1. Preelaborazione dei dati.
2. Scegli un modello in base al tuo problema specifico.
3. Imposta la funzione di costo.
4. Utilizza l'algoritmo di discesa del gradiente per trovare i parametri ottimali.
5. Valutare il modello e regolare gli iperparametri.
6. Utilizzare i modelli per fare previsioni.

4. Appendice

1. ex1data1.txt

6.1101,17.592
5.5277,9.1302
8.5186,13.662
7.0032,11.854
5.8598,6.8233
8.3829,11.886
7.4764,4.3483
8.5781,12
6.4862,6.5987
5.0546,3.8166
5.7107,3.2522
14.164,15.505
5.734,3.1551
8.4084,7.2258
5.6407,0.71618
5.3794,3.5129
6.3654,5.3048
5.1301,0.56077
6.4296,3.6518
7.0708,5.3893
6.1891,3.1386
20.27,21.767
5.4901,4.263
6.3261,5.1875
5.5649,3.0825
18.945,22.638
12.828,13.501
10.957,7.0467
13.176,14.692
22.203,24.147
5.2524,-1.22
6.5894,5.9966
9.2482,12.134
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