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Per stabilizzare il processo di produzione e ottenere alta qualità e rendimento elevato, è necessario analizzare i fattori che influenzano la qualità del prodotto e scoprire quei fattori che hanno un impatto significativo. Oltre a studiare il meccanismo, è spesso necessario condurre molti esperimenti e analizzare e confrontare i risultati, alla ricerca di regole. Il metodo di utilizzo delle statistiche matematiche per analizzare i risultati dei test e identificare il grado di influenza di ciascun fattore sui risultati è chiamato Analisi della varianza, registrato come ANOVA.

I risultati del test sono chiamati indicatori, le condizioni che devono essere studiate e che possono essere controllate nel test sono chiamate fattori o fattori e lo stato dei fattori è chiamato livello. In base al numero di fattori, può essere suddiviso in: analisi della varianza a fattore singolo e analisi della varianza a due fattori.

Sommario

1. Analisi della varianza unidirezionale

1.1 Modello matematico

1.2 Analisi statistica

1.3 Tabella di analisi della varianza

1.4 Implementazione di Matlab

(1) Dati equilibrati

(2) Dati sbilanciati

1.5 Confronti multipli

2. Analisi della varianza a due fattori

2.1 Modello matematico

2.2 Analisi della varianza a due fattori senza effetti di interazione

Modifica 2.3 ANOVA bidirezionale sugli effetti di interazione

2.4 Implementazione di Matlab

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1. Analisi della varianza unidirezionale

Considera solo l'impatto di un fattore A sull'indice di preoccupazione, prendi diversi livelli di A e conduci diversi esperimenti a ciascun livello. Durante l'esperimento, altri fattori che influenzano l'indice tranne A rimangono invariati (esistono solo fattori casuali), nostro Il compito è dedurre dai risultati sperimentali se il fattore A ha un impatto significativo sull’indice, cioè se c’è una differenza significativa nell’indice quando A assume livelli diversi. A considera l’indicatore a un certo livello come una variabile casuale. Giudicare se c’è una differenza significativa nell’indicatore quando A prende livelli diversi equivale a verificare se le medie di diverse popolazioni sono uguali.

1.1 Modello matematico

1.2 Analisi statistica

Dall'additività della distribuzione chi-quadrato:

1.3 Tabella di analisi della varianza

Il livello di significatività generalmente utilizzato nell'analisi della varianza è: prendereα = 0.01, rifiutare H0, affermando che l'influenza del fattore A (o la differenza tra ciascun livello di A) è molto significativa;α = 0.01, non rifiutare H0, ma prendiα = 0.05 , rifiutare H0, e dire che l'influenza del fattore A è significativa;α = 0.05 , H0 non viene rifiutato e si dice che il fattore A non abbia alcun impatto significativo.

1.4 Implementazione di Matlab

Il comando per l'analisi unidirezionale della varianza nel toolbox statistico Matlab è anovale . Se il numero di dati in ciascun gruppo è uguale, si parla di dati bilanciati. Se il numero di dati in ciascun gruppo non è uguale, si parla di dati sbilanciati.

(1) Dati equilibrati

L'utilizzo per la gestione dei dati bilanciati è: p=aval(x)

valore di ritorno Pè una probabilità, quando p > αaccettare quando Tipo H0 , x è una matrice di dati di m×r e ciascuna colonna di x è un livello di dati (la capacità campionaria a ciascun livello è ni = m). Inoltre, vengono generati una tabella degli scostamenti e un box plot.

Esempio:

x=[256 254 250 248 236 
 242 330 277 280 252 
 280 290 230 305 220 
 298 295 302 289 252]; 
p=anova1(x) 

Si trova che p = 0,1109 >α = 0,05, quindi l'ipotesi nulla non può essere rifiutata e si accetta H0, cioè non c'è differenza significativa nella produttività dei 5 lavoratori.

La tabella della varianza corrisponde alle colonne da 1 a 4 della tabella di analisi della varianza a un fattore sopra. F = 2.262 è il quantile 1− p della distribuzione F(4,15). Si può verificare che fcdf(2.262,4,). 15)=0,8891=1 -p.

Il box plot riflette le caratteristiche di 5 dati sulla produttività dei lavoratori.

(2) Dati sbilanciati

L'utilizzo per la gestione dei dati sbilanciati è: p=anova1(x,gruppo)

x è un vettore e i dati dal 1° gruppo all'resimo gruppo sono disposti in ordine. gruppo è un vettore con la stessa lunghezza di x, che contrassegna il gruppo di dati in x;

Esempio:

clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500 
 1670 1600 1540 1550 
 1700 1640 1620 1610 
 1750 1720 1680 1800]; 
x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; 
g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; 
p=anova1(x,g) 

Ottenuto: p=0,0331<0,05, quindi c'è una differenza significativa nella vita delle lampadine prodotte da diversi processi.

 

1.5 Confronti multipli

Nel problema della vita delle lampadine, per determinare quali processi presentano differenze significative nella vita delle lampadine, calcoliamo prima la media di ciascun insieme di dati:

Sebbene A1 abbia il valore medio più grande, sono necessari confronti multipli per determinare se è significativamente diverso dagli altri. In generale, i confronti multipli richiedono il confronto a coppie di tutte le r popolazioni per analizzare le differenze tra loro. Il numero di confronti può essere ridotto a seconda delle circostanze specifiche del problema.

clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500 
 1670 1600 1540 1550 
 1700 1640 1620 1610 
 1750 1720 1680 1800]; 
x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; 
g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; 
[p,t,st]=anova1(x,g) 
[c,m,h,nms] = multcompare(st); 
[nms num2cell(m)] 

2. Analisi della varianza a due fattori

Se si desidera considerare l'impatto di due fattori A e B sull'indice, dividere A e B in diversi livelli, condurre diversi test per ciascuna combinazione di livelli, condurre un'analisi della varianza sui dati ottenuti e verificare se i due fattori hanno un impatto significativo impatto sull’indice, oppure è necessario verificare ulteriormente se i due fattori hanno un effetto interattivo significativo sull’indicatore.

2.1 Modello matematico

2.2 Analisi della varianza a due fattori senza effetti di interazione

Se si può determinare in anticipo che non esiste alcuna interazione tra i due fattori sulla base dell’esperienza o di qualche tipo di analisi, non è necessario ripetere ciascuna serie di esperimenti e il

t = 1, il processo è notevolmente semplificato.

 

Tabella ANOVA a due fattori senza effetti di interazione:

2.3 Analisi a due fattori della varianza sugli effetti di interazione

Tabella ANOVA a due fattori sugli effetti di interazione:

2.4 Implementazione di Matlab

Utilizza anova2 nel toolbox statistico per eseguire l'analisi della varianza a due fattori.

Il comando è:p=anova2(x,ripetizioni)

Tra questi, i dati in diverse colonne di x rappresentano le variazioni di un singolo fattore, e i dati in diverse righe rappresentano le variazioni di un altro fattore. Se ciascuna coppia riga-colonna ("unità") ha più di un valore di osservazione, il parametro reps viene utilizzato per indicare le diverse etichette dei valori di osservazione multipli​​per ciascuna "unità", ovvero reps fornisce il numero di esperimenti ripetuti t.

x=[58.2 56.2 65.3 
49.1 54.1 51.6 
60.1 70.9 39.2 
75.8 58.2 48.7]; 
[p,t,st]=anova2(x) 

Il valore p=0,4491 0,7387 ottenuto mostra che le differenze tra i vari combustibili e i vari propulsori non hanno un impatto significativo sulla portata del razzo.

clc,clear 
x0=[58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.8 
49.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.4 
60.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.7 
75.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4]; 
x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6); 
for i=1:4 
 x(2*i-1,:)=x1(i,:); 
 x(2*i,:)=x2(i,:); 
end 
[p,t,st]=anova2(x,2)

Si trova che p=0,0035 0,026 0,0001, tutti inferiori a 0,05, quindi l'ipotesi di parità di medie può essere rifiutata. Vale a dire, ci sono differenze significative nelle portate dei diversi combustibili (fattore A) e dei diversi propulsori (fattore B), e anche l’interazione è significativa.