[Complete cursus Causalis Stanford] 2_No confusio et tendentia puncta 1

[Complete Stanford Consequentiae Causalis] 2_No confusio et tendentia puncta 1

2024-07-12

Tabula contentorum

Differentia in medium estimators aggregati

Una e simplicissimis extensionibus iudiciorum randomistarum est immoderata aestimatio effectuum interventuum. Qualita- tive, immensitas pertinet cum volumus aestimare tractatum effectum non temere, sed tam temere quam semel temperamus pro statuto covariates Xi.

Propositum huius lectionis est disputare de cognitionibus et estimationibus mediocrium interventuum effectuum sub hac immensa suppositione. Ut ante, accessum nonparametricum adhibebimus: bonam specificationem cuiuslibet parametri exemplaris non assumemus, et identificatio effectus curationis mediocris omnino consilio agetur (i.e., condiciones independentiae vindicat respectu potentiarum interventus et curationes).

Plus uno randomized imperium iudicium

Causalem effectum tractationis definimus per effectum interventum potentiale. Pro interventu binarii w∈{0, 1}, eventus potentiales Yi(1) et Yi(0) definimus, eventibus respondentes, quos subiectum recipiendi vel non recipiendi interventum respective experietur. Ponamus SUTVA; $Y_i = Y_i (W_i)$ et interventus effectus mediocris aestimare velis

$text{ATE}=mathbb{E}left[Y_i(1)-Y_i(0)right]$

In prima lectione, temere intercedente assignatione posuimus; ${Y_i(0), Y_i(1)}perp W_i$ , et plures in ATIS æstimatores constantes studuerunt.

Facillima via est transgrediendi unam RCT duos RCTs considerare. Ut in concreto exemplo, putant interesse praemia dare eleifend pecunia fumigans deterrere. Quinque centesimis adulescentium in Palo Alto, California, et XX% iuvenum Genavae, Helvetiae, studio participent.

In unaquaque urbe studia moderati sumus temere et facile perspicimus interventus adiuvari. Tamen, notitia aggregata spectans, potest fallere, ut appareat interventus laedere; Postquam notitias fundunt, hoc non amplius erat RCT quia Genevans et magis in curatione erant et magis fumigare pro curatione num essent. Ut congruenter ATE aestimationes obtineat, interventus effectus separatim pro unaquaque urbe aestimare oportet; $incipe{aligned} &hat{tau}_{mathrm{PA}}=frac{5}{152+5}-frac{122}{2362+122}prox-1.7%, \ &hat{tau}_{mathrm{GVA }}=frac{350}{350+581}-frac{1979}{2278+979}approx-8.9% \ &incipe{aligned}hat{tau}=frac{2641}{2641+5188}hat{tau}_ {mathrm{PA}}+frac{5188}{2641+5188}hat{tau}_{mathrm{GVA}}approx-6.5%.end{aligned} end{aligned}$

Quae sunt statistica huius estimatoris proprietates? Quomodo haec idea generaliter pro x consecutivis?

Differentia in medium estimators aggregati

Pone quod covariatus Xi valores sumit in spatio discreto Xi∈X; $|mathcal{X}|=p$ . Pone ulterius quod curatio destinatio temere assignationis conditionalis in Xi (i.e. singulas coetus habet RCT definitas per x gradus); ${Y_i(0), Y_i(1)} elem W_i magnum| X_i=x, text{pro omnibus} xinmathcal{X}.$

Define mediocris curatio effectum in coetus ut $tau(x)=mathbb{E}incipe{bmatrix}Y_i(1)-Y_i(0)&X_i=xend{bmatrix}$

Deinde, ut supra dictum est, aestimare ATE τ possumus per aggregationem curationum coetus effectus aestimationes;

$incipe{aligned}hat{tau}_{AGG}=sum_{xinmathcal{X}}tfrac{n_x}{n}hat{tau}(x), quadhat{tau}(x)=frac{1}{n_{ x1}}sum_{{X_i=x,W_i=}}Y_i-frac{1}{n_{x0}}sum_{{X_i=x,W_i=0}}Y_i,end{aligned}$

in $n_x=|{i:X_i=x}|$ ， $incipe{aligned}n_{xw}=|{i:X_i=x, W_i=w}|end{aligned}$ . Quam bona est haec aestimatio?Intuitive, aestimare oportet $|mathcal{X}|=p$ "parameter", ut expectemus discrepantiam cum p lineari esse?

Ad hanc aestimationem pervestigandam, hoc modo scribimus. Primum, pro quovis coetu covariato x, e(x) definiunt probabilitatem curationis recipiendae in illo coetu; $e(x)=mathbb{P}left[W_{i}=1 magnus| X_{i}=xright]$ Et notandum

$sqrt{n_x} left(hat{tau}(x)-tau(x)right)Rightarrowmathcal{N}left(0, frac{text{Var}left[Y_i(0) magnum| X_i=xright]}{1- e(x)}+frac{text{Var}left[Y_i(1) magnus| . X_i=xright]}{ e(x)}right)$

Praeterea, secundum $mathrm{Var}incipe{bmatrix}Y(w)&X=xend{bmatrix} =sigma^{2}(x)$ Sine suppositionibus simplicioribus ipsius w freti, accipere possumus

$sqrt{n_x} left(hat{tau}(x)-tau(x)dextra)Rightarrowmathcal{N}left(0, frac{sigma^2(x)}{e(x)(1-e(x)) }ius).$

Deinde, pro æstimatore inimico, volumus $hat{pi}(x) = n_x/n$ definitur $X_{i}=x$ Proportio observationum erit $pi(x)=mathbb{P}left[X_i=xright]$ Definitur ut eius valorem expectatum, possumus

His partibus simul dispositis dabimus $sqrt{n}left(hat{tau}_{AGG}-tauright) Rightarrowmathcal{N}left(0,V_{AGG}right)$

$incipe{collectio} V_{AGG} = mathrm{Var}reliquit[tau(X_{i})right]+sum_{xinmathcal{X}}pi^{2}(x)frac{1}{pi(x)} frac{sigma^{2}(x)}{e(x)(1-e(x))} \ = mathrm{Var}left[tau(X_i)right]+mathbb{E}left[frac{sigma^ 2(X_i)}{e(X_i)(1-e(X_i))}right]. finis$

Notatu dignum est variationem asymptoticam VAGG a numero circulorum non pendere $|mathcal{X}|=p;$ Hoc factum, ut postea videbimus, praecipuum munus agit in consequentibus semiparametricis efficaciter faciendi de effectibus intervenientibus in studiis observationalibus mediocris.

Continuus X ac propensio nomine

In superioribus consideravimus casum ubi X discretus est et numerus graduum limitatus est, et curatio Wi tam temere quam conditio Xi=x in (2.1). Hoc in casu, invenimus ATE adhuc accuratius aestimari posse per effectus curationis intra coetus aggregationes aestimationes, et exactum numerum circulorum |X| = p accurate illationis non afficit. Sed eventus hic non directe locum habet si X sit continuus (vel si numerus chi-quadratus Definitionis τ (x) ut in .

Ut analysin nostram generaliter praeter causam discretam X, non amplius simpliciter probare possumus pro unoquoque valore ipsius τ(x) aestimare. Ad quod faciendum, primum hypothesin generaliter oportet, quae sit RCT pro singulis.Formaliter, sicut idem scribimus

${Y_i(0),Y_i(1)}perp W_i magna| X_i, quad (2.6)$

Etsi nunc Xi fortasse arbitraria temere variabilis sit, haec editio cautius interpretanda est. Ex prospectu qualitativo, intellectus (2.6) est nos metiri satis covariare ut omnem dependentiam inter Wi et eventum potentialem capiamus, ut XI, Wi non possit "Peep" {Yi(0), Yi(1)} .Hanc hypothesin vocamusvanitate.

Assumptio (2.6) difficile videtur in praxi uti, quod condiciones implicat propter varias variabiles continuas.Tamen, ut Rosenbaum et Rubin (1983) designant, considerando propensionem score . $e(x)=mathbb{P}incipe{bmatrix}W_i=1 magna| X_i=xend{bmatrix}$

Peraeque, clavis proprietas score propensionis est quod score est libratum: si (2.6) tenet, re vera.

${Y_i(0),Y_i(1)}perp W_i | e(X_i), quad (2.8)$

Hoc est, tu tantum potius e(X) regere debes quam X ad tollendum studium interveniente assignatione non temere adiunctum. Per hoc cognoscere possumus:

$incipe{aligned}&mathbb{P}relictum[W_{i}=w magnum| {Y_{i}(0), Y_{i}(1)magnus} , e(X_{i})right] \ &=int_{ mathcal{X}} mathbb{P}left[W_i=w magnus| {Y_i(w)} ,X_i=xright]mathbb{P}left[X_i=x magna| {Y_i(w)} , e(X_i)dextrum] dx \ &=int_{ mathcal{X}} mathbb{P}left[W_i=w magnum| X_i=xright]mathbb{P}left[X_i=x magna| magnum{Y_i(w)magnum} , e(X_i)dextrum] dxquadtext{(unconf.)} \ &=e(X_{i})mathbf{1}_{w=}+(1-e(X_{ i})) mathbf{1}_{w=0}. finis$

Consequentia (2.8) est quod, si observationes in circulos cum (fere) constantibus valoribus propensionis sexaginta e(x) dividere possumus, tunc possumus $hat{tau}_{AGG}$ Variantes constanter effectus interventus mediocris aestimant.

Technology sharing

[Complete Stanford Consequentiae Causalis] 2_No confusio et tendentia puncta 1

Plus uno randomized imperium iudicium

Differentia in medium estimators aggregati

Continuus X ac propensio nomine

Personal profile

mihi contactus notitia