Järjestetty kategorinen satunnaismuuttuja (järjestetty)
Esimerkkejä: asenne (täysin samaa mieltä, samaa mieltä, neutraali, eri mieltä, täysin eri mieltä), käyttötiheys (kerran viikossa, kerran kahdessa viikossa, kerran puolen vuoden välein, melkein ei koskaan, ei koskaan)
Numeerinen satunnaismuuttuja
Esimerkki: Ikä (13, 14, 15, 16...), tulot (voit täyttää minkä tahansa arvon)
2. Diskreetti todennäköisyysjakauma
2.1 Binomiaalinen jakauma
määritelmä: kuvattu kohdassa nnn Menestynyt itsenäisissä kokeissa kkk Jokaisen kokeen onnistumisen todennäköisyys on ss。
kaava： X ∼ Bin ( n , p ) X sim teksti{Bin}(n, p)X∼Bin(n,s)
Todennäköisyysmassafunktio (PMF)： P ( X = k ) = ( nk ) pk ( 1 − p ) n − k P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}P(X=k)=(kn)sk(1−s)n−k
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( X = k ) = ∑ i = 0 k ( ni ) pi ( 1 − p ) n − i F(X = k) = summa_{i=0}^{k} binomi{n}{i} p^ i (1-p)^{ni}F(X=k)=∑i=0k(in)si(1−s)n−i
2.2 Bernoulli-jakelu
määritelmä: Kuvaa onnistumisen (tai epäonnistumisen) todennäköisyyttä kokeessa Onnistumisen todennäköisyys on ss。
kaava： X ∼ Bern ( p ) X sim teksti{Bern}(p)X∼Bern(s)
Todennäköisyysmassafunktio (PMF)： P ( X = x ) = { p jos x = 1 1 − p jos x = 0 P(X = x) ={sjosx=11−sjosx=0P(X=x)={s1−sjosx=1josx=0
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( X = x ) = { 0 jos x < 0 1 − p jos 0 ≤ x < 1 1 jos x ≥ 1 F(X = x) ={0josx<01−sjos0≤x<11josx≥1F(X=x)=⎩⎨⎧01−s1josx<0jos0≤x<1josx≥1
2.3 Geometrinen jakauma
määritelmä: Kuvaa epäonnistumisten lukumäärän ennen ensimmäistä onnistumista. Onnistumisen todennäköisyys jokaisessa kokeessa on ss。
kaava： X ∼ Geom ( p ) X sim teksti{Geom} (p)X∼Geom(s)
Todennäköisyysmassafunktio (PMF)： P ( X = k ) = ( 1 − p ) kp P(X = k) = (1-p)^ kpP(X=k)=(1−s)ks
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( X = k ) = 1 − ( 1 − p ) k + 1 F(X = k) = 1 - (1-p)^{k+1}F(X=k)=1−(1−s)k+1
2.4 Negatiivinen binomiaalinen jakauma
määritelmä: Kuvaa epäonnistumisten lukumäärää ennen r:nnen onnistumisen saavuttamista. Jokaisen kokeilun onnistumisen todennäköisyys on ss。
kaava： X ∼ NegBin ( r , p ) X sim teksti{NegBin}(r, p)X∼NegBin(r,s)
Todennäköisyysmassafunktio (PMF)： P ( X = k ) = ( k + r − 1 k ) pr ( 1 − p ) k P(X = k) = binom{k + r - 1}{k} p^r (1-p)^kP(X=k)=(kk+r−1)sr(1−s)k
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( X = k ) = ∑ i = 0 k ( i + r − 1 i ) pr ( 1 − p ) i F(X = k) = summa_{i=0}^{k} binomi{i + r - 1}{i} p^r (1-p)^iF(X=k)=∑i=0k(ii+r−1)sr(1−s)i
2.5 Hypergeometrinen jakauma
määritelmä: Kuvaa näytteenottoa rajallisesta populaatiosta ilman korvaamista nnn kertaa, onnistunut kkk kertaa todennäköisyys.
kaava： X ∼ Hypergeom ( N , K , n ) X sim teksti{Hypergeom}(N, K, n)X∼Hypergeom(N,K,n)
Todennäköisyysmassafunktio (PMF)： P ( X = k ) = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) P(X = k) = frac{binom{K}{k} binomi{NK}{nk}}{binom{ N}{n}}P(X=k)=(nN)(kK)(n−kN−K)
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( X = k ) = ∑ i = 0 k ( K i ) ( N − K n − i ) ( N n ) F(X = k) = summa_{i=0}^{k} frac{binom{K }{i} binom{NK}{ni}}{binom{N}{n}}F(X=k)=∑i=0k(nN)(iK)(n−iN−K)
2.6 Poisson-jakelu
määritelmä: Kuvaus tapahtuu aikayksikön sisällä kkk Tapahtuman todennäköisyys, tapahtuman keskimääräinen esiintymisnopeus on λ.
kaava： X ∼ Poisson ( λ ) X sim teksti{Poisson} (lambda)X∼Poisson(λ)
Todennäköisyysmassafunktio (PMF)： P ( X = k ) = λ ke − λ k ! P(X = k) = frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}P(X=k)=k!λke−λ
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( X = k ) = e − λ ∑ i = 0 k λ ii ! F(X = k) = e^{-lambda} summa_{i=0}^{k} frac{lambda^i}{i!}F(X=k)=e−λ∑i=0ki!λi
2.7 Niiden välinen suhde
Bernoullin jakeluon erikoistabinomiaalinen jakauma,kun n = 1 n = 1n=1 tunnin.
geometrinen jakautuminenon ennen ensimmäistä menestystä vaadittujen kokeiden lukumäärän jakauma, joka voidaan katsoa seuraavastibinomiaalinen jakaumalaajennus.
negatiivinen binomijakaumavoidaan nähdä mmgeometrinen jakautuminenYleistys, jota käytetään kuvaamaan epäonnistumisten määrää ennen r onnistumista.
hypergeometrinen jakaumaSamanlainen kuinbinomiaalinen jakauma, mutta sopii rajallisiin populaatioihin ja näytteenottoon ilman korvaamista.
Poisson-jakaumaJoobinomiaalinen jakaumaRajatapaus nnn erittäin iso ja ss hyvin nuori ja λ = np lambda = npλ=ns pysy vakiona.
3. Jatkuva todennäköisyysjakauma
3.1 Eksponenttijakauma
määritelmä: Eksponentiaalinen jakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jota käytetään usein kuvaamaan riippumattomien tapahtumien välisiä aikavälejä.
kaava： X ∼ eksponentiaalinen ( λ ) X sim teksti{eksponentiaalinen} (lambda)X∼Eksponentiaalinen(λ),sisään λ > 0 lambda > 0λ>0 on nopeusparametri
Todennäköisyystiheysfunktio (PDF)： f ( x ; λ ) = λ e − λ x x ≥ 0 f(x; lambda) = lambda e^{-lambda x} neliteksti{for } x geq 0f(x;λ)=λe−λxvartenx≥0
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( x ; λ ) = 1 − e − λ x, kun x ≥ 0 F(x; lambda) = 1 - e^{-lambda x} quad teksti{for } x geq 0F(x;λ)=1−e−λxvartenx≥0
3.2 Gamma-jakauma
määritelmä: Kuvaa odotusajan kertymistä ja on eksponentiaalisen jakauman ja χ²-jakauman yleistys.
kaava： X ∼ Gamma ( k , θ ) X sim teksti{Gamma}(k, theta)X∼Gamma(k,θ),sisään k > 0 k>0k>0 on muotoparametri, θ > 0 theta>0θ>0 on mittakaavaparametri
Todennäköisyystiheysfunktio (PDF)： f ( x ; k , θ ) = xk − 1 e − x / θ θ k Γ ( k ) kun x ≥ 0 f(x; k, theta) = frac{x^{k-1}e^{-x /theta}}{theta^k Gamma(k)} neliteksti{for } x geq 0f(x;k,θ)=θkΓ(k)xk−1e−x/θvartenx≥0,sisään Γ ( k ) Gamma(k)Γ(k) on gammafunktio
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( x ; k , θ ) = γ ( k , x / θ ) Γ ( k ) F(x; k, theta) = frac{gamma(k, x/theta)}{Gamma(k)}F(x;k,θ)=Γ(k)γ(k,x/θ),sisään γ ( k , x / θ ) gamma(k, x/theta)γ(k,x/θ) on epätäydellinen gammafunktio.
3.3 Normaali jakelu
määritelmä: Kuvaa suuren määrän riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakautumista ja sitä käytetään laajasti luonnontieteissä ja yhteiskuntatieteissä.
kaava： X ∼ N ( μ , σ 2 ) X sim matematiikka{N}(mu, sigma^2)X∼N(μ,σ2),sisään, μ muμ on keskiarvo, σ 2 sigma^2σ2 on varianssi
Todennäköisyystiheysfunktio (PDF)： f ( x ; μ , σ 2 ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x; mu, sigma^2) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e ^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}f(x;μ,σ2)=2πσ21e−2σ2(x−μ)2
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( x ; μ , σ 2 ) = 1 2 [ 1 + erf ( x − μ 2 σ 2 ) ] F(x; mu, sigma^2) = murto{1}{2}vasen[1 + operaattorin nimi{ erf}left(frac{x-mu}{sqrt{2sigma^2}}oikea)oikea]F(x;μ,σ2)=21[1+erf(2σ2x−μ)], jossa erf on virhefunktio.
3.4 t-Jakelu
määritelmä: Käytetään hypoteesien testaamiseen ja luottamusvälien arviointiin pienissä otostilanteissa.
kaava： X ∼ t ( ν ) X sim t(nu)X∼t(ν),sisään, ν nuν on vapauden aste
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( t ; ν ) = 1 2 + t Γ ( ν + 1 2 ) π ν Γ ( ν 2 ) ∫ 0 t ( 1 + u 2 ν ) − ν + 1 2 du F(t; nu) = frac{ 1}{2} + tfrac{Gammaleft(frac{nu+1}{2}right)}{sqrt{pi nu} Gammaleft(frac{nu}{2}right)} int_0^{t} vasen(1 + frac {u^2}{nu}oikea)^{-frac{nu+1}{2}} duF(t;ν)=21+tπνΓ(2ν)Γ(2ν+1)∫0t(1+νu2)−2ν+1du
3.5 Chi-neliöjakauma
määritelmä: Käytetään yleisesti hypoteesien testaamiseen ja varianssianalyysiin.
kaava： X ∼ χ 2 ( k ) X sim chi^2 (k)X∼χ2(k),sisään kkk on vapauden aste
Todennäköisyystiheysfunktio (PDF)： f ( x ; k ) = 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) xk / 2 − 1 e - x / 2, kun x ≥ 0 f(x; k) = murtoluku{1}{2^{k/2 } Gamma(k/2)} x^{k/2-1} e^{-x/2} neliteksti{for } x geq 0f(x;k)=2k/2Γ(k/2)1xk/2−1e−x/2vartenx≥0
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( x ; k ) = γ ( k 2 , x 2 ) Γ ( k 2 ) F(x; k) = frac{gammaleft(frac{k}{2}, frac{x}{2}right)}{ Gammaleft(frac{k}{2}right)}F(x;k)=Γ(2k)γ(2k,2x)
3.6 F-jakelu
määritelmä: Käytetään vertaamaan kahden otoksen varianssia.
kaava： X ∼ F ( d 1 , d 2 ) X sim F(d_1, d_2)X∼F(d1,d2),sisään d 1 d_1d1 ja d 2 d_2d2 on vapauden aste
Todennäköisyystiheysfunktio (PDF)： f ( x ; d 1 , d 2 ) = ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) x ≥ 0 f(x; d_1, d_2) = murto {d_1}{2}, frac{d_2}{2}right)} neliteksti{for } x geq 0f(x;d1,d2)=xB(2d1,2d2)(d1x+d2)d1+d2(d1x)d1d2d2vartenx≥0,sisään BBB on beta-toiminto
Kumulatiivinen jakelufunktio (CDF)： F ( x ; d 1 , d 2 ) = I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 2 , d 2 2 ) F(x; d_1, d_2) = I_{frac{d_1 x}{d_1 x + d_2 }}vasen(frac{d_1}{2}, frac{d_2}{2}right)F(x;d1,d2)=minäd1x+d2d1x(2d1,2d2),sisään IIminä on epätäydellinen beetatoiminto
3.7 Niiden välinen suhde
Khin-neliöjakauma onnormaalijakauman neliöiden summa . Esimerkiksi, kkk Riippumattomien standardinormaalimuuttujien neliöiden summa noudattaa vapausasteita as kkk chi-neliöjakauma.
T-jakauma on sisälläRakennettu normaalin normaalijakauman ja khin neliöjakauman perusteella /. Tarkemmin sanottuna t-jakauma voidaan saada jakamalla standardi normaalimuuttuja sen itsenäisen khin neliöjakaumamuuttujan neliöjuurella.
F-jakauma onKahden riippumattoman chi-neliöhajautetun muuttujan suhteen laajentaminen . F-jakaumaa käytetään kahden varianssin vertailuun, ja se muodostetaan ottamalla kahden khin neliöjakautuneen muuttujan suhde.
