Обмен технологиями

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

---

1. Определение и классификация случайных величин.

Определение: Случайная величина — это переменная, принимающая разные значения в случайном эксперименте.

1. Категориальная случайная величина (номинальная)

   • Пример: пол (мужчина, женщина), род занятий (государственный служащий, корпоративный служащий, студент, пенсионер, безработный), результат теста (отрицательный, положительный).

2. Упорядоченная категориальная случайная величина (Упорядоченная)

   • Примеры: отношение (полностью согласен, согласен, нейтрально, не согласен, категорически не согласен), частота использования (раз в неделю, раз в две недели, раз в полгода, почти никогда, никогда).

3. Числовая случайная величина

   • Пример: Возраст (13, 14, 15, 16...), доход (можно указать любое значение)

2. Дискретное распределение вероятностей.

2.1 Биномиальное распределение

• определение: описано в $н$ Успешный результат в независимых испытаниях$к$ Вероятность того, что каждое испытание окажется успешным, равна$п$。
• формула： $Икс\sim \text{Корзина}(н,п)$
• Функция массы вероятности (PMF)： $п(Икс=к)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{н}{к}\right){п}^{к}(1-п{)}^{н-к}$
• Кумулятивная функция распределения (CDF)： $Ф(Икс=к)={\sum }_{я=0}^{к}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{н}{я}\right){п}^{я}(1-п{)}^{н-я}$

2.2 Распределение Бернулли

• определение: Описывает вероятность успеха (или неудачи) эксперимента. Вероятность успеха равна. $п$。
• формула：$Икс\sim \text{Берн}(п)$
• Функция массы вероятности (PMF)： $п(Икс=Икс)=\{\begin{array}{ll}п& \text{если}Икс=1\\ 1-п& \text{если}Икс=0\end{array}$
• Кумулятивная функция распределения (CDF)： $Ф(Икс=Икс)=\{\begin{array}{ll}0& \text{если}Икс<0\\ 1-п& \text{если}0\le Икс<1\\ 1& \text{если}Икс\ge 1\end{array}$

2.3 Геометрическое распределение

• определение: Описывает вероятность количества неудач до первого успеха. Вероятность успеха в каждом испытании равна. $п$。
• формула： $Икс\sim \text{Геом}(п)$
• Функция массы вероятности (PMF)： $п(Икс=к)=(1-п{)}^{к}п$
• Кумулятивная функция распределения (CDF)： $Ф(Икс=к)=1-(1-п{)}^{к+1}$

2.4 Отрицательное биномиальное распределение

• определение: Описывает количество неудач до достижения r-го успеха. Вероятность успеха для каждого испытания равна. $п$。
• формула： $Икс\sim \text{НегБин}(р,п)$
• Функция массы вероятности (PMF)： $п(Икс=к)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{к+р-1}{к}\right){п}^{р}(1-п{)}^{к}$
• Кумулятивная функция распределения (CDF)： $Ф(Икс=к)={\sum }_{я=0}^{к}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{я+р-1}{я}\right){п}^{р}(1-п{)}^{я}$

2.5 Гипергеометрическое распределение

• определение: Описывает выборку из конечной совокупности без замены. $н$ раз, успешный$к$ раз вероятность.
• формула： $Икс\sim \text{Гипергеом}(Н,К,н)$
• Функция массы вероятности (PMF)： $п(Икс=к)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{К}{к}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{Н-К}{н-к}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{Н}{н}\right)}$
• Кумулятивная функция распределения (CDF)： $Ф(Икс=к)={\sum }_{я=0}^{к}\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{К}{я}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{Н-К}{н-я}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{Н}{н}\right)}$

2.6 Распределение Пуассона

• определение: Описание происходит за единицу времени. $к$ Вероятность события, средняя частота возникновения события, равна λ.
• формула： $Икс\sim \text{Пуассон}(\lambda )$
• Функция массы вероятности (PMF)： $п(Икс=к)=\frac{{\lambda }^{к}{е}^{-\lambda }}{к!}$
• Кумулятивная функция распределения (CDF)： $Ф(Икс=к)={е}^{-\lambda }{\sum }_{я=0}^{к}\frac{{\lambda }^{я}}{я!}$

2.7 Отношения между ними

• Распределение Бернуллиэто особенныйбиномиальное распределение,когда $н=1$ час.
• геометрическое распределение— это распределение числа испытаний, необходимых для достижения первого успеха, которое можно рассматривать какбиномиальное распределениерасширение.
• отрицательное биномиальное распределениеможно рассматривать какгеометрическое распределениеОбобщение , используемое для описания количества неудач, необходимых для достижения r успехов.
• гипергеометрическое распределениеПохожий набиномиальное распределение, но подходит для конечных популяций и выборки без замены.
• распределение Пуассонадабиномиальное распределениеПредельный случай $н$ очень большой и$п$ очень молодой и$\lambda =нп$ держитесь постоянным.

3. Непрерывное распределение вероятностей

3.1 Экспоненциальное распределение

• определение: Экспоненциальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, часто используемое для описания временных интервалов между независимыми событиями.

• формула： $Икс\sim \text{Экспоненциальный}(\lambda )$,в $\lambda >0$ параметр скорости

• Функция плотности вероятности (PDF)：$ф(Икс;\lambda )=\lambda {е}^{-\lambda Икс}\text{для}Икс\ge 0$

• Кумулятивная функция распределения (CDF)：$Ф(Икс;\lambda )=1-{е}^{-\lambda Икс}\text{для}Икс\ge 0$

3.2 Гамма-распределение

• определение: Описывает накопление времени ожидания и является обобщением экспоненциального распределения и распределения χ².

• формула： $Икс\sim \text{Гамма}(к,\theta )$,в $к>0$ параметр формы,$\theta >0$ параметр масштаба

• Функция плотности вероятности (PDF)：$ф(Икс;к,\theta )=\frac{{Икс}^{к-1}{е}^{-Икс/\theta }}{{\theta }^{к}\Gamma (к)}\text{для}Икс\ge 0$,в $\Gamma (к)$ это гамма-функция

• Кумулятивная функция распределения (CDF)：$Ф(Икс;к,\theta )=\frac{\gamma (к,Икс/\theta )}{\Gamma (к)}$,в $\gamma (к,Икс/\theta )$ является неполной гамма-функцией.

3.3 Нормальное распределение

• определение: Описывает распределение суммы большого количества независимых случайных величин и широко используется в естественных и социальных науках.

• формула：$Икс\sim \mathcal{Н}(\mu ,{\sigma }^2)$,в,$\mu$ это среднее значение,${\sigma }^2$ это дисперсия

• Функция плотности вероятности (PDF)：$ф(Икс;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{е}^{-\frac{(Икс-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

• Кумулятивная функция распределения (CDF)：$Ф(Икс;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{ерф}\left(\frac{Икс-\mu }{\sqrt{2{\sigma }^2}}\right)\right]$, где erf — функция ошибок.

3.4 t-распределение

• определение: используется для проверки гипотез и оценки доверительного интервала в ситуациях с небольшой выборкой.

• формула： $Икс\sim т(\nu )$,в,$\nu$ это степень свободы

• Функция плотности вероятности (PDF)：$ф(т;\nu )=\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\nu \pi }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\left(1+\frac{{т}^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

• Кумулятивная функция распределения (CDF)：$Ф(т;\nu )=\frac{1}{2}+т\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\int }_0^{т}{\left(1+\frac{{ты}^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}гты$

3.5 Распределение хи-квадрат

• определение: Обычно используется для проверки гипотез и дисперсионного анализа.

• формула： $Икс\sim {\chi }^2(к)$,в $к$ это степень свободы

• Функция плотности вероятности (PDF)：$ф(Икс;к)=\frac{1}{2^{к/2}\Gamma (к/2)}{Икс}^{к/2-1}{е}^{-Икс/2}\text{для}Икс\ge 0$

• Кумулятивная функция распределения (CDF)：$Ф(Икс;к)=\frac{\gamma \left(\frac{к}{2},\frac{Икс}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{к}{2}\right)}$

3.6 F-распределение

• определение: используется для сравнения дисперсии двух выборок.

• формула： $Икс\sim Ф({г}_1,{г}_2)$,в ${г}_1$ и${г}_2$ это степень свободы

• Функция плотности вероятности (PDF)：$ф(Икс;{г}_1,{г}_2)=\frac{\sqrt{\frac{({г}_1Икс{)}^{{г}_1}{г}_2^{{г}_2}}{({г}_1Икс+{г}_2{)}^{{г}_1+{г}_2}}}}{ИксБ\left(\frac{{г}_1}{2},\frac{{г}_2}{2}\right)}\text{для}Икс\ge 0$,в $Б$ это бета-функция

• Кумулятивная функция распределения (CDF)：$Ф(Икс;{г}_1,{г}_2)={я}_{\frac{{г}_1Икс}{{г}_1Икс+{г}_2}}\left(\frac{{г}_1}{2},\frac{{г}_2}{2}\right)$,в $я$ это неполная бета-функция

3.7 Отношения между ними

• Распределение хи-квадратсумма квадратов нормального распределения . Например,$к$ Сумма квадратов независимых стандартных нормальных переменных подчиняется степеням свободы как$к$ распределение хи-квадрат.
• Распределение t находится вПостроено на основе стандартного нормального распределения и распределения хи-квадрат. из. В частности, t-распределение можно получить путем деления стандартной нормальной переменной на квадратный корень из ее независимой переменной распределения хи-квадрат.
• Распределение FРасширение отношения двух независимых распределенных переменных хи-квадрат . Распределение F используется для сравнения двух дисперсий и строится путем определения отношения двух распределенных переменных хи-квадрат.