1. Definizione e classificazione delle variabili casuali
Definizione: una variabile casuale è una variabile che assume valori diversi in un esperimento casuale.
Variabile casuale categoriale (Nominale)
Esempio: sesso (maschio, femmina), professione (funzionario pubblico, dipendente aziendale, studente, pensionato, disoccupato), risultato del test (negativo, positivo)
Variabile casuale categorica ordinata (ordinata)
Esempi: atteggiamento (fortemente d'accordo, d'accordo, neutrale, in disaccordo, fortemente in disaccordo), frequenza d'uso (una volta alla settimana, una volta ogni due settimane, una volta ogni sei mesi, quasi mai, mai)
definizione: descritto in non-negligenzaN Successo in studi indipendenti ciaoK La probabilità di successo in ogni prova è ppP。
formula： X ∼ Bin ( n , p ) X testo sim{Bin}(n, p)X∼Bidone(N,P)
Funzione di massa di probabilità (PMF)： P ( X = k ) = ( nk ) pk ( 1 − p ) n − k P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}P(X=K)=(KN)PK(1−P)N−K
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( X = k ) = ∑ i = 0 k ( ni ) pi ( 1 − p ) n − i F(X = k) = somma_{i=0}^{k} binom{n}{i} p^i (1-p)^{ni}F(X=K)=∑ioooooooooooooo=0K(iooooooooooooooN)Pioooooooooooooo(1−P)N−ioooooooooooooo
2.2 Distribuzione di Bernoulli
definizione: Descrive la probabilità di successo (o fallimento) in un esperimento ppP。
formula： X ∼ Berna ( p ) X sim testo{Berna}(p)X∼Berna(P)
Funzione di massa di probabilità (PMF)： P ( X = x ) = { p se x = 1 1 − p se x = 0 P(X = x) ={PSeX=11−PSeX=0P(X=X)={P1−PSeX=1SeX=0
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( X = x ) = { 0 se x < 0 1 − p se 0 ≤ x < 1 1 se x ≥ 1 F(X = x) ={0SeX<01−PSe0≤X<11SeX≥1F(X=X)=⎩⎨⎧01−P1SeX<0Se0≤X<1SeX≥1
2.3 Distribuzione geometrica
definizione: Descrive la probabilità del numero di fallimenti prima del primo successo. La probabilità di successo in ogni prova è ppP。
formula： X ∼ Geom ( p ) X sim testo{Geom}(p)X∼Geometra(P)
Funzione di massa di probabilità (PMF)： P(X = k) = (1 − p) kp P(X = k) = (1-p)^kpP(X=K)=(1−P)KP
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F(X = k) = 1 − ( 1 − p ) k + 1 F(X = k) = 1 - (1-p)^{k+1}F(X=K)=1−(1−P)K+1
2.4 Distribuzione binomiale negativa
definizione: Descrive il numero di fallimenti prima di raggiungere l'resimo successo. La probabilità di successo per ogni prova è ppP。
formula： X ∼ NegBin ( r , p ) X testo sim{NegBin}(r, p)X∼Negativo(R,P)
Funzione di massa di probabilità (PMF)： P(X = k) = ( k + r − 1 k ) pr( 1 − p ) k P(X = k) = binom{k + r - 1}{k} p^r (1-p)^kP(X=K)=(KK+R−1)PR(1−P)K
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( X = k ) = ∑ i = 0 k ( i + r − 1 i ) pr ( 1 − p ) i F(X = k) = somma_{i=0}^{k} binom{i + r - 1}{i} p^r (1-p)^iF(X=K)=∑ioooooooooooooo=0K(iooooooooooooooioooooooooooooo+R−1)PR(1−P)ioooooooooooooo
2.5 Distribuzione ipergeometrica
definizione: Descrive il campionamento da una popolazione finita senza sostituzione non-negligenzaN volte, con successo ciaoK volte probabilità.
formula： X ∼ Ipergeometria ( N , K , n ) X sim text{Ipergeometria}(N, K, n)X∼Ipergeo(N,K,N)
Funzione di massa di probabilità (PMF)： P ( X = k ) = ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) P(X = k) = frac{binom{K}{k} binom{NK}{nk}}{binom{N}{n}}P(X=K)=(NN)(KK)(N−KN−K)
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( X = k ) = ∑ i = 0 k ( K i ) ( N − K n − i ) ( N n ) F(X = k) = somma_{i=0}^{k} frazione{binom{K}{i} binom{NK}{ni}}{binom{N}{n}}F(X=K)=∑ioooooooooooooo=0K(NN)(iooooooooooooooK)(N−iooooooooooooooN−K)
2.6 Distribuzione di Poisson
definizione: La descrizione avviene entro l'unità di tempo ciaoK La probabilità di un evento, il tasso medio di accadimento dell'evento è λ.
formula： X ∼ Poisson ( λ ) X sim testo{Poisson}(lambda)X∼Pesce(λ)
Funzione di massa di probabilità (PMF)： P ( X = k ) = λ ke − λ k ! P(X = k) = frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}P(X=K)=K!λKe−λ
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( X = k ) = e − λ ∑ i = 0 k λ ii ! F(X = k) = e^{-lambda} somma_{i=0}^{k} frazione{lambda^i}{i!}F(X=K)=e−λ∑ioooooooooooooo=0Kioooooooooooooo!λioooooooooooooo
2.7 Rapporto tra loro
Distribuzione di Bernoulliè uno specialedistribuzione binomiale,Quando n = 1 n = 1N=1 ora.
distribuzione geometricaè la distribuzione del numero di prove richieste prima del primo successo, che può essere vista comedistribuzione binomialeestensione.
distribuzione binomiale negativapuò essere visto comedistribuzione geometricaGeneralizzazione di , utilizzata per descrivere il numero di fallimenti richiesti prima di r successi.
distribuzione ipergeometricaSimile adistribuzione binomiale, ma adatto per popolazioni finite e campionamento senza sostituzione.
Distribuzione di PoissonSÌdistribuzione binomialeIl caso limite di non-negligenzaN molto grande e ppP molto giovane, e λ = np lambda = npλ=NP mantenersi costante.
3. Distribuzione continua di probabilità
3.1 Distribuzione esponenziale
definizione: La distribuzione esponenziale è una distribuzione di probabilità continua spesso utilizzata per descrivere gli intervalli di tempo tra eventi indipendenti.
formula： X ∼ Esponenziale ( λ ) X sim text{Esponenziale}(lambda)X∼Esponenziale(λ),In λ > 0 lambda>0λ>0 è il parametro della velocità
Funzione di densità di probabilità (PDF)： f ( x ; λ ) = λ e − λ x per x ≥ 0 f(x; lambda) = lambda e^{-lambda x} quad text{per } x geq 0F(X;λ)=λe−λXperX≥0
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( x ; λ ) = 1 − e − λ x per x ≥ 0 F(x; lambda) = 1 - e^{-lambda x} quad text{per } x geq 0F(X;λ)=1−e−λXperX≥0
3.2 Distribuzione gamma
definizione: Descrive l'accumulo del tempo di attesa ed è una generalizzazione della distribuzione esponenziale e della distribuzione χ².
formula： X ∼ Gamma ( k , θ ) X testo sim{Gamma}(k, theta)X∼Gamma(K,θ),In k > 0 k>0K>0 è il parametro di forma, θ > 0 theta>0θ>0 è il parametro di scala
Funzione di densità di probabilità (PDF)： f ( x ; k , θ ) = xk − 1 e − x / θ θ k Γ ( k ) per x ≥ 0 f(x; k, theta) = frac{x^{k-1}e^{-x/theta}}{theta^k Gamma(k)} quad text{per } x geq 0F(X;K,θ)=θKΓ(K)XK−1e−X/θperX≥0,In Γ ( k ) Gamma( k )Γ(K) è la funzione gamma
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F(x; k, θ) = γ(k, x/θ) Γ(k) F(x; k, theta) = frac{gamma(k, x/theta)}{Gamma(k)}F(X;K,θ)=Γ(K)γ(K,X/θ),In γ ( k , x / θ ) gamma( k , x/theta)γ(K,X/θ) è una funzione gamma incompleta.
3.3 Distribuzione normale
definizione: Descrive la distribuzione della somma di un gran numero di variabili casuali indipendenti ed è ampiamente utilizzato nelle scienze naturali e nelle scienze sociali.
formula： X ∼ N ( μ , σ 2 ) X sim mathcal{N}(mu, sigma^2)X∼N(μ,σ2),In, mi muμ è il valore medio, σ 2 sigma^2σ2 è la varianza
Funzione di densità di probabilità (PDF)： f ( x ; μ , σ 2 ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x; mu, sigma^2) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}F(X;μ,σ2)=2πσ21e−2σ2(X−μ)2
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( x ; μ , σ 2 ) = 1 2 [ 1 + erf ( x − μ 2 σ 2 ) ] F(x; mu, sigma^2) = frac{1}{2}sinistra[1 + nomeoperatore{erf}sinistra(frac{x-mu}{sqrt{2sigma^2}}destra)destra]F(X;μ,σ2)=21[1+uomo(2σ2X−μ)], dove erf è la funzione di errore.
3.4 t-Distribuzione
definizione: Utilizzato per la verifica delle ipotesi e la stima dell'intervallo di confidenza in situazioni di campioni ridotti.
formula： X ∼ t ( ν ) X sim t(nu)X∼T(ν),In, non oraν è il grado di libertà
Funzione di densità di probabilità (PDF)： f ( t ; ν ) = Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + t 2 ν ) − ν + 1 2 f(t; nu) = frac{Gammaleft(frac{nu+1}{2}destra)}{sqrt{nupi} Gammaleft(frac{nu}{2}destra)} sinistra(1 + frac{t^2}{nu}destra)^{-frac{nu+1}{2}}F(T;ν)=νπΓ(2ν)Γ(2ν+1)(1+νT2)−2ν+1
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( t ; ν ) = 1 2 + t Γ ( ν + 1 2 ) π ν Γ ( ν 2 ) ∫ 0 t ( 1 + u 2 ν ) − ν + 1 2 du F(t; nu) = frac{1}{2} + tfrac{Gammaleft(frac{nu+1}{2}destra)}{sqrt{pi nu} Gammaleft(frac{nu}{2}destra)} int_0^{t} sinistra(1 + frac{u^2}{nu}destra)^{-frac{nu+1}{2}} duF(T;ν)=21+TπνΓ(2ν)Γ(2ν+1)∫0T(1+νio2)−2ν+1Dio
3.5 Distribuzione chi-quadrato
definizione: Comunemente utilizzato per la verifica delle ipotesi e l'analisi della varianza.
formula： X ∼ χ 2 ( k ) X sim chi^2(k)X∼χ2(K),In ciaoK è il grado di libertà
Funzione di densità di probabilità (PDF)： f ( x ; k ) = 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) xk / 2 − 1 e − x / 2 per x ≥ 0 f(x; k) = frac{1}{2^{k/2} Gamma(k/2)} x^{k/2-1} e^{-x/2} quad text{per } x geq 0F(X;K)=2K/2Γ(K/2)1XK/2−1e−X/2perX≥0
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( x ; k ) = γ ( k 2 , x 2 ) Γ ( k 2 ) F(x; k) = frac{gammasinistra(frac{k}{2}, frac{x}{2}destra)}{Gammasinistra(frac{k}{2}destra)}F(X;K)=Γ(2K)γ(2K,2X)
3.6 Distribuzione F
definizione: Utilizzato per confrontare la varianza di due campioni.
formula： X ∼ F ( d 1 , d 2 ) X sim F(d_1, d_2)X∼F(D1,D2),In il 1 il_1D1 E e 2 e 2D2 è il grado di libertà
Funzione di densità di probabilità (PDF)： f ( x ; d 1 , d 2 ) = ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) per x ≥ 0 f(x; d_1, d_2) = frac{sqrt{frac{(d_1 x)^{d_1} d_2^{d_2}}{(d_1 x + d_2)^{d_1 + d_2}}}}{x Bleft(frac{d_1}{2}, frac{d_2}{2}right)} quad text{per } x geq 0F(X;D1,D2)=XB(2D1,2D2)(D1X+D2)D1+D2(D1X)D1D2D2perX≥0,In BBB è una funzione beta
Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)： F ( x ; d 1 , d 2 ) = I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 2 , d 2 2 ) F ( x ; d_1, d_2 ) = I_{frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}} sinistra (frac{d_1}{2}, frac{d_2}{2} destra )F(X;D1,D2)=IOOD1X+D2D1X(2D1,2D2),In Io sonoIOO è una funzione beta incompleta
3.7 Rapporto tra loro
La distribuzione chi-quadrato èSomma dei quadrati della distribuzione normale . Per esempio, ciaoK La somma dei quadrati delle variabili normali standard indipendenti obbedisce ai gradi di libertà di ciaoK distribuzione chi quadrato.
La distribuzione t è presenteCostruito sulla base della distribuzione normale standard e della distribuzione chi-quadrato Di. Nello specifico, la distribuzione t può essere ottenuta dividendo una variabile normale standard per la radice quadrata della sua variabile di distribuzione chi-quadrato indipendente.
La distribuzione F èEstensione del rapporto tra due variabili distribuite chi-quadrato indipendenti . La distribuzione F viene utilizzata per confrontare due varianze ed è costruita prendendo il rapporto di due variabili distribuite chi-quadrato.
