प्रौद्योगिकी साझेदारी

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

---

1. यादृच्छिकचरानाम् परिभाषा वर्गीकरणं च

परिभाषा : यादृच्छिकचरः एकः चरः अस्ति यः यादृच्छिकप्रयोगे भिन्नानि मूल्यानि गृह्णाति ।

1. श्रेणीबद्ध यादृच्छिक चर (नाममात्र) 1 .

   • उदाहरणम् : लिंग (पुरुष, महिला), व्यवसाय (नागरिकसेवकः, निगमकर्मचारी, छात्रः, सेवानिवृत्तः, बेरोजगारः), परीक्षणस्य परिणामः (नकारात्मकः, सकारात्मकः)

2. क्रमबद्धः श्रेणीगतः यादृच्छिकचरः (क्रमितः) २.

   • उदाहरणानि : मनोवृत्तिः (दृढतया सहमतः, सहमतः, तटस्थः, असहमतः, दृढतया असहमतः), उपयोगस्य आवृत्तिः (सप्ताहे एकवारं, सप्ताहद्वये एकवारं, षड्मासेषु एकवारं, प्रायः कदापि न, कदापि)

3. संख्यात्मक यादृच्छिक चर

   • उदाहरणम् : आयुः (१३, १४, १५, १६...), आयः (भवन्तः यत्किमपि मूल्यं पूरयितुं शक्नुवन्ति)

2. असतत संभाव्यता वितरण

२.१ द्विपदवितरणम्

• परिभाषा: वर्णितः इति $न$ स्वतन्त्रपरीक्षासु सफलः$k$ प्रत्येकस्मिन् परीक्षणे सफलतायाः सम्भावना अस्ति$पृ$。
• सूत्रम्： $X\sim \text{बिन्}(न,पृ)$
• संभाव्यता द्रव्यमानफलनम् (PMF) 1.1.： $पु(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{न}{k}\right){पृ}^k(1-पृ{)}^{न-k}$
• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.： $च(X=k)={\sum }_{अहम्‌=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{न}{अहम्‌}\right){पृ}^{अहम्‌}(1-पृ{)}^{न-अहम्‌}$

२.२ बर्नौली वितरणम्

• परिभाषा: प्रयोगे सफलतायाः (अथवा असफलतायाः) सम्भावनायाः वर्णनं करोति सफलतायाः सम्भावना अस्ति $पृ$。
• सूत्रम्：$X\sim \text{बर्न्}(पृ)$
• संभाव्यता द्रव्यमानफलनम् (PMF) 1.1.： $पु(X=x)=\{\begin{array}{ll}पृ& \text{यदि}x=1\\ 1-पृ& \text{यदि}x=0\end{array}$
• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.： $च(X=x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{यदि}x<0\\ 1-पृ& \text{यदि}0\le x<1\\ 1& \text{यदि}x\ge 1\end{array}$

२.३ ज्यामितीयवितरणम्

• परिभाषा: प्रथमसफलतायाः पूर्वं असफलतायाः संख्यायाः वर्णनं करोति प्रत्येकस्मिन् परीक्षणे सफलतायाः सम्भावना अस्ति $पृ$。
• सूत्रम्： $X\sim \text{जियोम्}(पृ)$
• संभाव्यता द्रव्यमानफलनम् (PMF) 1.1.： $पु(X=k)=(1-पृ{)}^kपृ$
• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.： $च(X=k)=1-(1-पृ{)}^{k+1}$

2.4 ऋणात्मक द्विपद वितरण

• परिभाषा: rth सफलतां प्राप्तुं पूर्वं असफलतायाः संख्यां वर्णयति प्रत्येकस्य परीक्षणस्य सफलतायाः सम्भावना अस्ति $पृ$。
• सूत्रम्： $X\sim \text{नेगबिन्}(र,पृ)$
• संभाव्यता द्रव्यमानफलनम् (PMF) 1.1.： $पु(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+र-1}{k}\right){पृ}^{र}(1-पृ{)}^k$
• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.： $च(X=k)={\sum }_{अहम्‌=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{अहम्‌+र-1}{अहम्‌}\right){पृ}^{र}(1-पृ{)}^{अहम्‌}$

२.५ अतिज्यामितीयवितरणम्

• परिभाषा: प्रतिस्थापनं विना परिमितजनसंख्यातः नमूनाकरणस्य वर्णनं करोति $न$ कालः, सफलः$k$ गुणा संभाव्यता।
• सूत्रम्： $X\sim \text{अतिज्योतिः}(न॰,के,न)$
• संभाव्यता द्रव्यमानफलनम् (PMF) 1.1.： $पु(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{के}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{न॰-के}{न-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{न॰}{न}\right)}$
• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.： $च(X=k)={\sum }_{अहम्‌=0}^k\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{के}{अहम्‌}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{न॰-के}{न-अहम्‌}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{न॰}{न}\right)}$

२.६ पॉयसोन् वितरणम्

• परिभाषा: वर्णनं एककसमये एव भवति $k$ कस्यापि घटनायाः सम्भावना, घटनायाः औसतदरः λ भवति ।
• सूत्रम्： $X\sim \text{पोइसोन्}(\lambda )$
• संभाव्यता द्रव्यमानफलनम् (PMF) 1.1.： $पु(X=k)=\frac{{\lambda }^k{ङ}^{-\lambda }}{k!}$
• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.： $च(X=k)={ङ}^{-\lambda }{\sum }_{अहम्‌=0}^k\frac{{\lambda }^{अहम्‌}}{अहम्‌!}$

२.७ तयोः सम्बन्धः

• बर्नौली वितरणइति विशेषःद्विपदीय वितरण,कदा $न=1$ घटकः।
• ज्यामितीय वितरणप्रथमसफलतायाः पूर्वं आवश्यकपरीक्षासङ्ख्यायाः वितरणं भवति, यत् यथा द्रष्टुं शक्यतेद्विपदीय वितरणविस्तार।
• ऋणात्मक द्विपद वितरणयथा दृश्यतेज्यामितीय वितरणसामान्यीकरणं , r सफलताभ्यः पूर्वं आवश्यकानां विफलतानां संख्यां वर्णयितुं प्रयुक्तम् ।
• अतिज्यामितीय वितरणसदृशम्द्विपदीय वितरण, परन्तु परिमितजनसंख्यानां कृते उपयुक्तः, प्रतिस्थापनं विना नमूनाकरणं च ।
• पॉयसन वितरणआम्‌द्विपदीय वितरणसीमाप्रकरणस्य $न$ अतीव विशालः च$पृ$ अतितरुणः, च$\lambda =नपृ$ नित्यं धारयतु।

3. निरन्तर संभाव्यता वितरण

३.१ घातीयवितरणम्

• परिभाषा: घातीयवितरणं एकं निरन्तरसंभाव्यतावितरणं भवति यस्य उपयोगः प्रायः स्वतन्त्रघटनानां मध्ये समयान्तराणां वर्णनार्थं भवति ।

• सूत्रम्： $X\sim \text{घातीय}(\lambda )$,इत्यस्मिन्‌ $\lambda >0$ इति दरमापदण्डः

• संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) 1.1.：$च(x;\lambda )=\lambda {ङ}^{-\lambda x}\text{कृते}x\ge 0$

• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.：$च(x;\lambda )=1-{ङ}^{-\lambda x}\text{कृते}x\ge 0$

३.२ गामा वितरणम्

• परिभाषा: प्रतीक्षासमयस्य सञ्चयस्य वर्णनं करोति तथा च घातीयवितरणस्य χ2 वितरणस्य च सामान्यीकरणं भवति ।

• सूत्रम्： $X\sim \text{गाम्मा}(k,\theta )$,इत्यस्मिन्‌ $k>0$ आकारपरिमाणम् अस्ति, .$\theta >0$ इति स्केल पैरामीटर् अस्ति

• संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) 1.1.：$च(x;k,\theta )=\frac{x^{k-1}{ङ}^{-x/\theta }}{{\theta }^k\Gamma (k)}\text{कृते}x\ge 0$,इत्यस्मिन्‌ $\Gamma (k)$ इति गामा कार्यम्

• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.：$च(x;k,\theta )=\frac{\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}$,इत्यस्मिन्‌ $\gamma (k,x/\theta )$ अपूर्णं गामा-कार्यम् अस्ति ।

३.३ सामान्यवितरणम्

• परिभाषा: बहूनां स्वतन्त्रानां यादृच्छिकचरानाम् योगस्य वितरणस्य वर्णनं करोति तथा च प्राकृतिकविज्ञानेषु सामाजिकविज्ञानेषु च व्यापकरूपेण उपयुज्यते।

• सूत्रम्：$X\sim न॰(\mu ,{\sigma }^2)$,इत्यस्मिन्‌,$\mu$ इति मध्यममूल्यम्, २.${\sigma }^2$ इति विचरणम्

• संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) 1.1.：$च(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{ङ}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.：$च(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x-\mu }{\sqrt{2{\sigma }^2}}\right)\right]$, यत्र erf इति त्रुटिकार्यम् ।

३.४ ट-वितरणम्

• परिभाषा: लघुनमूनास्थितौ परिकल्पनापरीक्षणाय विश्वासान्तरानुमानार्थं च उपयुज्यते।

• सूत्रम्： $X\sim त(\nu )$,इत्यस्मिन्‌,$\nu$ इति स्वतन्त्रतायाः उपाधिः

• संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) 1.1.：$च(त;\nu )=\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\nu \pi }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\left(1+\frac{{त}^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.：$च(त;\nu )=\frac{1}{2}+त\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\int }_0^{त}{\left(1+\frac{{उ}^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}घउ$

३.५ चि-वर्गवितरणम्

• परिभाषा: सामान्यतया परिकल्पनापरीक्षणाय विचरणविश्लेषणाय च प्रयुक्तम्।

• सूत्रम्： $X\sim {\chi }^2(k)$,इत्यस्मिन्‌ $k$ इति स्वतन्त्रतायाः उपाधिः

• संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) 1.1.：$च(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{ङ}^{-x/2}\text{कृते}x\ge 0$

• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.：$च(x;k)=\frac{\gamma \left(\frac{k}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)}$

३.६ च-वितरणम्

• परिभाषा: द्वयोः नमूनायोः विचरणस्य तुलनायै उपयुज्यते ।

• सूत्रम्： $X\sim च({घ}_1,{घ}_2)$,इत्यस्मिन्‌ ${घ}_1$ तथा${घ}_2$ इति स्वतन्त्रतायाः उपाधिः

• संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) 1.1.：$च(x;{घ}_1,{घ}_2)=\frac{\sqrt{\frac{({घ}_{1}x{)}^{{घ}_1}{घ}_2^{{घ}_2}}{({घ}_{1}x+{घ}_2{)}^{{घ}_1+{घ}_2}}}}{xख\left(\frac{{घ}_1}{2},\frac{{घ}_2}{2}\right)}\text{कृते}x\ge 0$,इत्यस्मिन्‌ $ख$ बीटा कार्यम् अस्ति

• संचयी वितरण कार्य (CDF) 1.1.：$च(x;{घ}_1,{घ}_2)={अहम्‌}_{\frac{{घ}_{1}x}{{घ}_{1}x+{घ}_2}}\left(\frac{{घ}_1}{2},\frac{{घ}_2}{2}\right)$,इत्यस्मिन्‌ $अहम्‌$ अपूर्णं बीटा-कार्यम् अस्ति

३.७ तयोः सम्बन्धः

• चि-वर्गवितरणं भवतिसामान्यवितरणस्य वर्गानां योगः . उदाहरणतया,$k$ स्वतन्त्रमानकसामान्यचरानाम् वर्गानां योगः स्वतन्त्रतायाः अंशानां पालनम् करोति यथा$k$ चि-वर्ग वितरण ।
• त् वितरणम् अस्तिमानकसामान्यवितरणस्य, काइ-वर्गवितरणस्य च आधारेण निर्मितम् इत्यस्य। विशेषतः, मानकसामान्यचरस्य स्वतन्त्रस्य काइ-वर्गवितरणचरस्य वर्गमूलेन विभज्य t-वितरणं प्राप्तुं शक्यते
• F वितरणम् अस्तिद्वयोः स्वतन्त्रयोः काइ-वर्गवितरितचरयोः अनुपातस्य विस्तारः . F वितरणस्य उपयोगः द्वयोः विचरणयोः तुलनायै भवति तथा च द्वयोः काइ-वर्गवितरितचरयोः अनुपातं गृहीत्वा निर्मितं भवति ।