Κοινή χρήση τεχνολογίας

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

---

1. Ορισμός και ταξινόμηση τυχαίων μεταβλητών

Ορισμός: Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που παίρνει διαφορετικές τιμές σε ένα τυχαίο πείραμα.

1. Κατηγορική τυχαία μεταβλητή (Ονομαστική)

   • Παράδειγμα: Φύλο (άνδρας, γυναίκα), επάγγελμα (δημόσιος υπάλληλος, εταιρικός υπάλληλος, φοιτητής, συνταξιούχος, άνεργος), αποτέλεσμα εξέτασης (αρνητικό, θετικό)

2. Ταξινομημένη κατηγορική τυχαία μεταβλητή (Παραγγελία)

   • Παραδείγματα: στάση (συμφωνώ απόλυτα, συμφωνώ, ουδέτερος, διαφωνώ, διαφωνώ απόλυτα), συχνότητα χρήσης (μία φορά την εβδομάδα, μία φορά κάθε δύο εβδομάδες, μία φορά κάθε έξι μήνες, σχεδόν ποτέ, ποτέ)

3. Αριθμητική τυχαία μεταβλητή

   • Παράδειγμα: Ηλικία (13, 14, 15, 16...), εισόδημα (μπορείτε να συμπληρώσετε οποιαδήποτε τιμή)

2. Διακριτή κατανομή πιθανοτήτων

2.1 Διωνυμική Κατανομή

• ορισμός: περιγράφεται στο $n$ Επιτυχής σε ανεξάρτητες δοκιμές$\kappa$ Η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή είναι$\Pi$。
• τύπος： ${\rm X}\sim \text{Αποθήκη}(n,\Pi )$
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF)： $\Pi ({\rm X}=\kappa )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\kappa }\right){\Pi }^{\kappa }(1-\Pi {)}^{n-\kappa }$
• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)： $\phi ά({\rm X}=\kappa )={\sum }_{{\rm E}\gamma ώ=0}^{\kappa }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{{\rm E}\gamma ώ}\right){\Pi }^{{\rm E}\gamma ώ}(1-\Pi {)}^{n-{\rm E}\gamma ώ}$

2.2 Κατανομή Bernoulli

• ορισμός: Περιγράφει την πιθανότητα επιτυχίας (ή αποτυχίας) σε ένα πείραμα Η πιθανότητα επιτυχίας είναι $\Pi$。
• τύπος：${\rm X}\sim \text{Βέρνη}(\Pi )$
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF)： $\Pi ({\rm X}={\rm X})=\{\begin{array}{ll}\Pi & \text{αν}{\rm X}=1\\ 1-\Pi & \text{αν}{\rm X}=0\end{array}$
• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)： $\phi ά({\rm X}={\rm X})=\{\begin{array}{ll}0& \text{αν}{\rm X}<0\\ 1-\Pi & \text{αν}0\le {\rm X}<1\\ 1& \text{αν}{\rm X}\ge 1\end{array}$

2.3 Γεωμετρική Κατανομή

• ορισμός: Περιγράφει την πιθανότητα του αριθμού των αποτυχιών πριν από την πρώτη επιτυχία Η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή είναι $\Pi$。
• τύπος： ${\rm X}\sim \text{Geom}(\Pi )$
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF)： $\Pi ({\rm X}=\kappa )=(1-\Pi {)}^{\kappa }\Pi$
• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)： $\phi ά({\rm X}=\kappa )=1-(1-\Pi {)}^{\kappa +1}$

2.4 Αρνητική διωνυμική κατανομή

• ορισμός: Περιγράφει τον αριθμό των αποτυχιών πριν φτάσει στην rth επιτυχία Η πιθανότητα επιτυχίας για κάθε δοκιμή είναι $\Pi$。
• τύπος： ${\rm X}\sim \text{NegBin}(r,\Pi )$
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF)： $\Pi ({\rm X}=\kappa )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa +r-1}{\kappa }\right){\Pi }^r(1-\Pi {)}^{\kappa }$
• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)： $\phi ά({\rm X}=\kappa )={\sum }_{{\rm E}\gamma ώ=0}^{\kappa }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\rm E}\gamma ώ+r-1}{{\rm E}\gamma ώ}\right){\Pi }^r(1-\Pi {)}^{{\rm E}\gamma ώ}$

2.5 Υπεργεωμετρική Κατανομή

• ορισμός: Περιγράφει δειγματοληψία από πεπερασμένο πληθυσμό χωρίς αντικατάσταση $n$ φορές, επιτυχημένη$\kappa$ φορές πιθανότητα.
• τύπος： ${\rm X}\sim \text{Υπεργεώμ}({\rm N},\kappa ,n)$
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF)： $\Pi ({\rm X}=\kappa )=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\kappa }\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\rm N}-\kappa }{n-\kappa }\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\rm N}}{n}\right)}$
• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)： $\phi ά({\rm X}=\kappa )={\sum }_{{\rm E}\gamma ώ=0}^{\kappa }\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{{\rm E}\gamma ώ}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\rm N}-\kappa }{n-{\rm E}\gamma ώ}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\rm N}}{n}\right)}$

2.6 Διανομή Poisson

• ορισμός: Η περιγραφή εμφανίζεται εντός μονάδας χρόνου $\kappa$ Η πιθανότητα ενός συμβάντος, ο μέσος ρυθμός εμφάνισης του συμβάντος είναι λ.
• τύπος： ${\rm X}\sim \text{Poisson}(\lambda )$
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF)： $\Pi ({\rm X}=\kappa )=\frac{{\lambda }^{\kappa }{\mu \iota }^{-\lambda }}{\kappa !}$
• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)： $\phi ά({\rm X}=\kappa )={\mu \iota }^{-\lambda }{\sum }_{{\rm E}\gamma ώ=0}^{\kappa }\frac{{\lambda }^{{\rm E}\gamma ώ}}{{\rm E}\gamma ώ!}$

2.7 Η μεταξύ τους σχέση

• Κατανομή Bernoulliείναι ένα ιδιαίτεροδιωνυμική κατανομή,πότε $n=1$ ώρα.
• γεωμετρική κατανομήείναι η κατανομή του αριθμού των δοκιμών που απαιτούνται πριν από την πρώτη επιτυχία, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ωςδιωνυμική κατανομήεπέκταση.
• αρνητική διωνυμική κατανομήμπορεί να θεωρηθεί ωςγεωμετρική κατανομήΓενίκευση του , χρησιμοποιείται για να περιγράψει τον αριθμό των αστοχιών που απαιτούνται πριν από τις επιτυχίες r.
• υπεργεωμετρική κατανομήΠαρόμοιο μεδιωνυμική κατανομή, αλλά κατάλληλο για πεπερασμένους πληθυσμούς και δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση.
• Κατανομή PoissonΝαίδιωνυμική κατανομήΗ οριακή περίπτωση του $n$ πολύ μεγάλο και$\Pi$ πολύ νέος, και$\lambda =n\Pi$ κρατήστε σταθερό.

3. Συνεχής κατανομή πιθανοτήτων

3.1 Εκθετική Κατανομή

• ορισμός: Η εκθετική κατανομή είναι μια συνεχής κατανομή πιθανότητας που χρησιμοποιείται συχνά για να περιγράψει τα χρονικά διαστήματα μεταξύ ανεξάρτητων γεγονότων.

• τύπος： ${\rm X}\sim \text{Εκθετικός}(\lambda )$,σε $\lambda >0$ είναι η παράμετρος του ποσοστού

• Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)：$\phi ά({\rm X};\lambda )=\lambda {\mu \iota }^{-\lambda {\rm X}}\text{Για}{\rm X}\ge 0$

• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)：$\phi ά({\rm X};\lambda )=1-{\mu \iota }^{-\lambda {\rm X}}\text{Για}{\rm X}\ge 0$

3.2 Κατανομή γάμμα

• ορισμός: Περιγράφει τη συσσώρευση του χρόνου αναμονής και είναι μια γενίκευση της εκθετικής κατανομής και της κατανομής χ².

• τύπος： ${\rm X}\sim \text{Γάμμα}(\kappa ,\theta )$,σε $\kappa >0$ είναι η παράμετρος σχήματος,$\theta >0$ είναι η παράμετρος κλίμακας

• Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)：$\phi ά({\rm X};\kappa ,\theta )=\frac{{{\rm X}}^{\kappa -1}{\mu \iota }^{-{\rm X}/\theta }}{{\theta }^{\kappa }\Gamma (\kappa )}\text{Για}{\rm X}\ge 0$,σε $\Gamma (\kappa )$ είναι η συνάρτηση γάμμα

• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)：$\phi ά({\rm X};\kappa ,\theta )=\frac{\gamma (\kappa ,{\rm X}/\theta )}{\Gamma (\kappa )}$,σε $\gamma (\kappa ,{\rm X}/\theta )$ είναι μια ατελής συνάρτηση γάμμα.

3.3 Κανονική κατανομή

• ορισμός: Περιγράφει την κατανομή του αθροίσματος ενός μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών και χρησιμοποιείται ευρέως στις φυσικές και κοινωνικές επιστήμες.

• τύπος：${\rm X}\sim \mathcal{{\rm N}}(\mu ,{\sigma }^2)$,σε,$\mu$ είναι η μέση τιμή,${\sigma }^2$ είναι η διακύμανση

• Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)：$\phi ά({\rm X};\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\mu \iota }^{-\frac{({\rm X}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)：$\phi ά({\rm X};\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{{\rm X}-\mu }{\sqrt{2{\sigma }^2}}\right)\right]$, όπου erf είναι η συνάρτηση σφάλματος.

3.4 t-Κατανομή

• ορισμός: Χρησιμοποιείται για τον έλεγχο υποθέσεων και την εκτίμηση του διαστήματος εμπιστοσύνης σε καταστάσεις μικρών δειγμάτων.

• τύπος： ${\rm X}\sim t(\nu )$,σε,$\nu$ είναι ο βαθμός ελευθερίας

• Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)：$\phi ά(t;\nu )=\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\nu \pi }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\left(1+\frac{t^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)：$\phi ά(t;\nu )=\frac{1}{2}+t\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\int }_0^t{\left(1+\frac{u^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}\rho \epsilon u$

3.5 Κατανομή Chi-Square

• ορισμός: Χρησιμοποιείται συνήθως για τον έλεγχο υποθέσεων και την ανάλυση της διακύμανσης.

• τύπος： ${\rm X}\sim {\chi }^2(\kappa )$,σε $\kappa$ είναι ο βαθμός ελευθερίας

• Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)：$\phi ά({\rm X};\kappa )=\frac{1}{2^{\kappa /2}\Gamma (\kappa /2)}{{\rm X}}^{\kappa /2-1}{\mu \iota }^{-{\rm X}/2}\text{Για}{\rm X}\ge 0$

• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)：$\phi ά({\rm X};\kappa )=\frac{\gamma \left(\frac{\kappa }{2},\frac{{\rm X}}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\kappa }{2}\right)}$

3.6 Κατανομή F

• ορισμός: Χρησιμοποιείται για τη σύγκριση της διακύμανσης δύο δειγμάτων.

• τύπος： ${\rm X}\sim \phi ά({\rho \epsilon }_1,{\rho \epsilon }_2)$,σε ${\rho \epsilon }_1$ και${\rho \epsilon }_2$ είναι ο βαθμός ελευθερίας

• Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)：$\phi ά({\rm X};{\rho \epsilon }_1,{\rho \epsilon }_2)=\frac{\sqrt{\frac{({\rho \epsilon }_1{\rm X}{)}^{{\rho \epsilon }_1}{\rho \epsilon }_2^{{\rho \epsilon }_2}}{({\rho \epsilon }_1{\rm X}+{\rho \epsilon }_2{)}^{{\rho \epsilon }_1+{\rho \epsilon }_2}}}}{{\rm X}\sigma \iota \left(\frac{{\rho \epsilon }_1}{2},\frac{{\rho \epsilon }_2}{2}\right)}\text{Για}{\rm X}\ge 0$,σε $\sigma \iota$ είναι μια συνάρτηση βήτα

• Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (CDF)：$\phi ά({\rm X};{\rho \epsilon }_1,{\rho \epsilon }_2)={{\rm E}\gamma ώ}_{\frac{{\rho \epsilon }_1{\rm X}}{{\rho \epsilon }_1{\rm X}+{\rho \epsilon }_2}}\left(\frac{{\rho \epsilon }_1}{2},\frac{{\rho \epsilon }_2}{2}\right)$,σε ${\rm E}\gamma ώ$ είναι μια ατελής συνάρτηση βήτα

3.7 Η μεταξύ τους σχέση

• Η κατανομή χ-τετράγωνο είναιΆθροισμα τετραγώνων κανονικής κατανομής . Για παράδειγμα,$\kappa$ Το άθροισμα των τετραγώνων των ανεξάρτητων τυπικών κανονικών μεταβλητών υπακούει στους βαθμούς ελευθερίας όπως$\kappa$ κατανομή χι-τετράγωνο.
• Η κατανομή t είναι μέσαΚατασκευάστηκε με βάση την τυπική κανονική κατανομή και την κατανομή χι-τετράγωνο του. Συγκεκριμένα, η κατανομή t μπορεί να ληφθεί διαιρώντας μια τυπική κανονική μεταβλητή με την τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής κατανομής χ-τετράγωνο.
• Η κατανομή F είναιΕπέκταση του λόγου δύο ανεξάρτητων κατανεμημένων μεταβλητών χ-τετράγωνο . Η κατανομή F χρησιμοποιείται για τη σύγκριση δύο διακυμάνσεων και κατασκευάζεται λαμβάνοντας τον λόγο δύο κατανεμημένων μεταβλητών χ-τετράγωνο.