기술나눔

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1. 확률변수의 정의 및 분류

정의: 무작위 변수는 무작위 실험에서 다른 값을 취하는 변수입니다.

1. 범주형 확률변수(명목형)

   • 예시 : 성별(남성, 여성), 직업(공무원, 직장인, 학생, 퇴직, 무직), 검사결과(음성, 양성)

2. 순서형 범주형 확률변수(순서형)

   • 예: 태도(매우 동의함, 동의함, 중립적, 동의하지 않음, 크게 동의하지 않음), 사용 빈도(일주일에 한 번, 2주에 한 번, 6개월에 한 번, 거의 전혀, 전혀)

3. 수치확률변수

   • 예: 연령(13, 14, 15, 16...), 소득(어떤 값이든 입력 가능)

2. 이산 확률 분포

2.1 이항 분포

• 정의: 설명 $N$ 독립적인 시험에서 성공$케이$ 각 시행이 성공할 확률은 다음과 같습니다.$피$。
• 공식： $엑스\sim \text{큰 상자}(N,피)$
• 확률질량함수(PMF)： $피(엑스=케이)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{케이}\right){피}^{케이}(1-피{)}^{N-케이}$
• 누적 분포 함수(CDF)： $에프(엑스=케이)={\sum }_{나=0}^{케이}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{나}\right){피}^{나}(1-피{)}^{N-나}$

2.2 베르누이 분포

• 정의: 실험의 성공(또는 실패) 확률을 설명합니다. 성공 확률은 다음과 같습니다. $피$。
• 공식：$엑스\sim \text{베른}(피)$
• 확률질량함수(PMF)： $피(엑스=엑스)=\{\begin{array}{ll}피& \text{만약에}엑스=1\\ 1-피& \text{만약에}엑스=0\end{array}$
• 누적 분포 함수(CDF)： $에프(엑스=엑스)=\{\begin{array}{ll}0& \text{만약에}엑스<0\\ 1-피& \text{만약에}0\le 엑스<1\\ 1& \text{만약에}엑스\ge 1\end{array}$

2.3 기하학적 분포

• 정의: 첫 번째 성공 전 실패 횟수의 확률을 설명합니다. 각 시도의 성공 확률은 다음과 같습니다. $피$。
• 공식： $엑스\sim \text{지오엠}(피)$
• 확률질량함수(PMF)： $피(엑스=케이)=(1-피{)}^{케이}피$
• 누적 분포 함수(CDF)： $에프(엑스=케이)=1-(1-피{)}^{케이+1}$

2.4 음이항 분포

• 정의: r번째 성공에 도달하기 전의 실패 횟수를 설명합니다. 각 시행의 성공 확률은 다음과 같습니다. $피$。
• 공식： $엑스\sim \text{네그빈}(아르\; 자형,피)$
• 확률질량함수(PMF)： $피(엑스=케이)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{케이+아르\; 자형-1}{케이}\right){피}^{아르\; 자형}(1-피{)}^{케이}$
• 누적 분포 함수(CDF)： $에프(엑스=케이)={\sum }_{나=0}^{케이}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{나+아르\; 자형-1}{나}\right){피}^{아르\; 자형}(1-피{)}^{나}$

2.5 초기하 분포

• 정의: 유한 모집단에서 대체 없이 샘플링하는 방법을 설명합니다. $N$ 번, 성공$케이$ 배 확률.
• 공식： $엑스\sim \text{하이퍼지오므}(N,케이,N)$
• 확률질량함수(PMF)： $피(엑스=케이)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{케이}{케이}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-케이}{N-케이}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{N}\right)}$
• 누적 분포 함수(CDF)： $에프(엑스=케이)={\sum }_{나=0}^{케이}\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{케이}{나}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-케이}{N-나}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{N}\right)}$

2.6 포아송 분포

• 정의: 설명은 단위 시간 내에 발생합니다. $케이$ 사건의 확률, 사건의 평균 발생률은 λ입니다.
• 공식： $엑스\sim \text{푸아송}(\lambda )$
• 확률질량함수(PMF)： $피(엑스=케이)=\frac{{\lambda }^{케이}{이자형}^{-\lambda }}{케이!}$
• 누적 분포 함수(CDF)： $에프(엑스=케이)={이자형}^{-\lambda }{\sum }_{나=0}^{케이}\frac{{\lambda }^{나}}{나!}$

2.7 그들 사이의 관계

• 베르누이 분포특별하다이항 분포,언제 $N=1$ 시간.
• 기하학적 분포첫 번째 성공까지 필요한 시행 횟수의 분포로, 다음과 같이 볼 수 있습니다.이항 분포확대.
• 음이항 분포로 볼 수 있다기하학적 분포r번 성공하기 전에 필요한 실패 횟수를 설명하는 데 사용되는 의 일반화입니다.
• 초기하 분포비슷하다이항 분포, 그러나 유한한 모집단과 대체 없는 샘플링에 적합합니다.
• 포아송 분포예이항 분포한계 사례 $N$ 매우 크고$피$ 아주 어리고,$\lambda =N피$ 일정하게 유지하십시오.

3. 연속확률분포

3.1 지수분포

• 정의: 지수 분포는 독립적인 사건 사이의 시간 간격을 설명하는 데 자주 사용되는 연속 확률 분포입니다.

• 공식： $엑스\sim \text{지수}(\lambda )$,안에 $\lambda >0$ 속도 매개 변수입니다

• 확률밀도함수 (PDF)：$에프(엑스;\lambda )=\lambda {이자형}^{-\lambda 엑스}\text{~을 위한}엑스\ge 0$

• 누적 분포 함수(CDF)：$에프(엑스;\lambda )=1-{이자형}^{-\lambda 엑스}\text{~을 위한}엑스\ge 0$

3.2 감마 분포

• 정의: 대기 시간의 누적을 설명하며 지수 분포와 χ² 분포를 일반화한 것입니다.

• 공식： $엑스\sim \text{감마}(케이,\theta )$,안에 $케이>0$ 모양 매개변수입니다.$\theta >0$ 스케일 매개변수입니다

• 확률밀도함수 (PDF)：$에프(엑스;케이,\theta )=\frac{{엑스}^{케이-1}{이자형}^{-엑스/\theta }}{{\theta }^{케이}\Gamma (케이)}\text{~을 위한}엑스\ge 0$,안에 $\Gamma (케이)$ 감마 함수입니다

• 누적 분포 함수(CDF)：$에프(엑스;케이,\theta )=\frac{\gamma (케이,엑스/\theta )}{\Gamma (케이)}$,안에 $\gamma (케이,엑스/\theta )$ 불완전한 감마 함수입니다.

3.3 정규분포

• 정의: 다수의 독립확률변수의 합의 분포를 기술하며 자연과학과 사회과학에서 널리 사용된다.

• 공식：$엑스\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$,안에,$\mu$ 는 평균값이고,${\sigma }^2$ 차이는

• 확률밀도함수 (PDF)：$에프(엑스;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{이자형}^{-\frac{(엑스-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

• 누적 분포 함수(CDF)：$에프(엑스;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{에르프}\left(\frac{엑스-\mu }{\sqrt{2{\sigma }^2}}\right)\right]$, 여기서 erf는 오류 함수입니다.

3.4 t-분포

• 정의: 소규모 표본 상황에서 가설 검정 및 신뢰 구간 추정에 사용됩니다.

• 공식： $엑스\sim 티(\nu )$,안에,$\nu$ 자유도이다

• 확률밀도함수 (PDF)：$에프(티;\nu )=\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\nu \pi }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\left(1+\frac{{티}^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

• 누적 분포 함수(CDF)：$에프(티;\nu )=\frac{1}{2}+티\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\int }_0^{티}{\left(1+\frac{{유}^2}{\nu }\right)}^{-\frac{\nu +1}{2}}디유$

3.5 카이제곱 분포

• 정의: 가설 검정 및 분산 분석에 일반적으로 사용됩니다.

• 공식： $엑스\sim {\chi }^2(케이)$,안에 $케이$ 자유도이다

• 확률밀도함수 (PDF)：$에프(엑스;케이)=\frac{1}{2^{케이/2}\Gamma (케이/2)}{엑스}^{케이/2-1}{이자형}^{-엑스/2}\text{~을 위한}엑스\ge 0$

• 누적 분포 함수(CDF)：$에프(엑스;케이)=\frac{\gamma \left(\frac{케이}{2},\frac{엑스}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{케이}{2}\right)}$

3.6 F-분포

• 정의: 두 표본의 분산을 비교하는 데 사용됩니다.

• 공식： $엑스\sim 에프({디}_1,{디}_2)$,안에 ${디}_1$ 그리고${디}_2$ 자유도이다

• 확률밀도함수 (PDF)：$에프(엑스;{디}_1,{디}_2)=\frac{\sqrt{\frac{({디}_1엑스{)}^{{디}_1}{디}_2^{{디}_2}}{({디}_1엑스+{디}_2{)}^{{디}_1+{디}_2}}}}{엑스비\left(\frac{{디}_1}{2},\frac{{디}_2}{2}\right)}\text{~을 위한}엑스\ge 0$,안에 $비$ 베타 기능이다

• 누적 분포 함수(CDF)：$에프(엑스;{디}_1,{디}_2)={나}_{\frac{{디}_1엑스}{{디}_1엑스+{디}_2}}\left(\frac{{디}_1}{2},\frac{{디}_2}{2}\right)$,안에 $나$ 불완전한 베타 기능입니다

3.7 그들 사이의 관계

• 카이제곱 분포는 다음과 같습니다.정규분포의 제곱합 . 예를 들어,$케이$ 독립 표준 정규 변수의 제곱합은 다음과 같은 자유도를 따릅니다.$케이$ 카이제곱 분포.
• t 분포는 다음과 같습니다.표준정규분포와 카이제곱분포를 기반으로 구성 의. 구체적으로, t-분포는 표준 정규 변수를 독립 카이제곱 분포 변수의 제곱근으로 나누어 얻을 수 있습니다.
• F 분포는 다음과 같습니다.두 개의 독립 카이제곱 분포 변수의 비율 확장 . F 분포는 두 분산을 비교하는 데 사용되며 두 카이제곱 분포 변수의 비율을 취하여 구성됩니다.