प्रौद्योगिकी साझेदारी

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

अभाज्यसङ्ख्या सा प्राकृतिकसङ्ख्या यस्याः १ अपि च स्वयं (१ विहाय) इत्येतस्मात् परं गुणनखण्डं नास्ति । अभाज्यसङ्ख्याः प्राकृतिकसङ्ख्यानां आधारः इति मन्यन्ते यथा प्रकृतौ परमाणुः, तथैव १ इत्यस्मात् अधिकानि सर्वाणि प्राकृतिकसङ्ख्यानि अनेकानाम् अभाज्यसङ्ख्यानां गुणनफलेन प्रतिनिधितुं शक्यन्ते, एतत् प्रतिनिधित्वं च अद्वितीयं भवति (अभाज्यसङ्ख्यानां क्रमं न कृत्वा) .

केचन जनाः पृच्छन्ति यत् एतत् अधिकमूलसंयोजनस्य अपेक्षया गुणनस्य सन्दर्भे किमर्थम् अस्ति, यथा प्राकृतिकसङ्ख्यानां विघटनं अनेकानाम् X संख्यानां योगे एताः X संख्याः प्राकृतिकसङ्ख्यानां आधाररूपेण अधिकं उपयुक्ताः सन्ति यतो हि यदि एवं विघटितं भवति तर्हि अन्ते यत् विघटितं भवति तत् अनेकानाम् योगः भवति, यत् सरलगणना भवति, अनेकनियमानां हानिः भवति अवश्यं, भवान् काश्चन सङ्ख्याः मूलभूतसङ्ख्यारूपेण अपि सेट् कर्तुं शक्नोति, यथा 1, 2, 3, 5. परन्तु 10 इत्यस्य 2+8 तथा 3+7 इति विघटनस्य अत्यावश्यकः अन्तरः नास्ति प्रकृतेः केचन मौलिकाः प्रतिबिम्बयितुं।

संख्यास्वभावं प्रति गत्वा संख्याः विद्यन्ते यतोहि वस्तूनि अमूर्तं कर्तुं शक्यन्ते-लोके द्वौ पदार्थौ सम्यक् समानौ न भवतः, परन्तु समानरूपेण गणयितुं शक्यन्ते। गुणनम् वस्तुतः एतत् उपायं विस्तारयति, पूर्वमेव समानानि इति कतिपयानि वस्तूनि एकस्मिन् समूहे विभज्य, ततः समानसङ्ख्यायाः बहुसमूहानां समानं मन्यमानस्य अनन्तरं पुनः प्रक्रियां पुनरावृत्तिं करोति अतः गुणनया प्राप्ताः सङ्ख्याः संख्याविस्ताराः इति न आश्चर्यं, गुणनस्य गणनायां अद्वितीयं स्थानं भवति इति न आश्चर्यम् ।

यदा द्वयोः सङ्ख्यायोः समानाः गुणनखण्डाः सन्ति तदा तेषां समूहात् पुनः पुनः प्राप्तुं शक्यते इति अर्थः यथा २ समूहात् ४, ६ च पुनः पुनः प्राप्तुं शक्यन्ते । तेषां केचन सादृश्याः, परस्परं व्यञ्जनक्षमता च निश्चिता अस्ति, अतः ते तावत् अद्वितीयाः न सन्ति इति अवगन्तुं शक्यते । अभाज्यसङ्ख्यानां विशिष्टं वस्तु अस्ति यत् ते लघुसङ्ख्याभ्यः (१ विहाय) सञ्चितुं न शक्यन्ते, अतः प्रत्येकं अभाज्यसङ्ख्या अद्वितीया अनन्यता च भवति । प्रत्येकस्य अभाज्यसङ्ख्यायाः अप्रतिस्थापनीयत्वात् गणितस्य मौलिकप्रमेयस्य "विशिष्टता" स्पष्टा भवति : १ तः अधिका कोऽपि प्राकृतिकः संख्या N, यदि N अभाज्यसङ्ख्या न भवति तर्हि N अद्वितीयरूपेण परिमितस्य गुणनफलरूपेण विघटितुं शक्यते अभाज्यसङ्ख्यानां संख्या ।

प्रत्येकं अभाज्यसङ्ख्या तस्य गुणनखण्डानां समानगुणानां च संख्यावर्गस्य प्रतिनिधिः भवति । जगतः सिद्धान्तः "पुनरावृत्तिः किन्तु परिवर्तनम्" इति । यथा वयं दृष्टवन्तः, जगत् अपि बहुधा वस्तूनि सृजति, यथा समानपरमाणुनां बहुसंख्या, तत्सदृशप्रतिमानं च भवति, एतेन पुनरावृत्तिः विश्वस्य अवगमनं सम्भवं करोति । अभाज्यसङ्ख्यानां निर्माणानन्तरं अभाज्यसङ्ख्यानां पुनरावृत्तिः कृत्वा सर्वाणि सङ्ख्यानि प्राप्तुं शक्यन्ते, यत् निःसंदेहं सरलं कार्यकुशलं च भवति । परन्तु अभाज्यसङ्ख्यानां परिमितसंख्या किमर्थं न भवति ? सहजतया यद्यपि प्रत्येकं अभाज्यसङ्ख्या निरन्तरं पुनरावृत्तिः भवति तथा च बृहत्तरसङ्ख्यानां बहूनां संख्यां आच्छादयितुं शक्नोति तथापि सर्वथा गुणनम् एव, कूर्दनं च तुल्यकालिकरूपेण बृहत् भवति, अन्तरालं त्यजति, एते अन्तरालाः नूतनाः अभाज्यसङ्ख्याः सन्ति अस्य अर्थः अस्ति यत् पूर्वसङ्ख्याभिः पूर्णतया प्रतिनिधित्वं कर्तुं न शक्यमाणाः सङ्ख्याः सर्वदा सन्ति, येन जगतः परिवर्तनस्य स्थानं त्यजति ।

गोल्डबच् इत्यस्य अनुमानं एतत् अवगन्तुं शक्यते यत् १ इत्यस्मात् अधिका प्रत्येकं प्राकृतिकं सङ्ख्यां 2 इत्यनेन विभक्तस्य द्वयोः अभाज्यसङ्ख्यायोः योगरूपेण व्यक्तं कर्तुं शक्यते यद्यपि एषा अभिव्यक्तिविधिः अद्वितीया नास्ति तथापि स्पष्टतया जनान् गुणनस्य योगस्य च पृष्ठतः किञ्चित् गहनं सम्बन्धं अनुभवति अभाज्यसङ्ख्याः मूलतः सर्वान् सङ्ख्यान् गुणनरूपेण प्रतिनिधितुं प्रयुज्यन्ते, परन्तु तेषां प्रतिनिधित्वं योजकरूपेण अपि कर्तुं शक्यते ।

द्विज अभाज्य अनुमानं गोल्डबच् अनुमानस्य विशेषप्रकरणरूपेण अवगन्तुं शक्यते अर्थात् असंख्यप्राकृतिकसङ्ख्याः सन्ति n, 2n-1 तथा 2n+1 इत्येतौ द्वौ अपि अभाज्यसङ्ख्याः सन्ति, 4n च एतयोः अभाज्यसङ्ख्यायोः योगरूपेण व्यक्तं कर्तुं शक्यते . अर्थात् समसङ्ख्यायाः प्रतिनिधित्वार्थं समसङ्ख्यायाः पूर्वं पश्चात् च केवलं १ इत्यनेन भिन्नाः अभाज्यसङ्ख्याः अन्वेष्टुं शक्नुवन्ति एतादृशाः समसङ्ख्याः असंख्याः सन्ति ।

यथा जर्मनगणितज्ञः क्रोनेकरः अवदत् यत् "ईश्वरः पूर्णाङ्कान् निर्मितवान्, शेषाः मानवसृष्टयः सन्ति।" अभाज्यसङ्ख्यायाः अवधारणा वस्तुतः मनुष्यैः एव आविष्कृता, परन्तु सा प्रभावीरूपेण केषाञ्चन समस्यानां समाधानं कर्तुं शक्नोति । गुणनस्य महत्त्वं न केवलं यतोहि एषा कुशलगणनाविधिः अस्ति, अपितु संख्यानां विस्तारः अस्ति ।